例2证明:函数向量组 0 2t x1()=0,x2(O)=e|,x:() 0 在(-∞,+∞)上线性无关 证明:要使 0 2t 1x(1)+C2x2(t)+c2x()=c10+c2e|+c3e3≡0 0 齐次线性方程组的通解结构 国上一页国下一页返回帮助
齐次线性方程组的通解结构 证明: 要使 1 1 2 2 3 3 c x t c x t c x t ( ) ( ) ( ) + + 2 3 3 1 2 3 0 0 1 0 t t t t t e e c c e c e e − = + + 0 例2 证明:函数向量组 1 ( ) 0 , t t e x t e − = 3 2 0 ( ) , 1 t x t e = 在(- ,+ )上线性无关. 2 3 3 ( ) , 0 t t e x t e =
则需 0e3 0 O<t<+ 因为 0 2e4≠0.Vt e 所以c1=c2=c3=0, 故x(t),x2()2x3(D)线性无关 齐次线性方程组的通解结构 国上一页国下一页返回帮助
齐次线性方程组的通解结构 2 1 3 3 2 3 0 0 0 0 , 1 0 0 t t t t t e e c e e c t e c − = − + 则需 因为 2 3 3 0 0 1 0 t t t t t e e e e e − 4 2 t = − e 0, 所以 1 2 3 c c c = = = 0, 1 2 3 故 x t x t x t ( ), ( ), ( ) 线性无关. t
3函数向量组线性相关与无关的判别准则 (1) Wronsky行列式 设有n个定义在a≤t≤b上的向量函数 X n x,( xmn (t) 由这n个向量函数所构成的行列式 11 12 W[x(),x2(O2…x()eW()=/5()x2() n 称为这n个向量函数所构成的 Wronsky行列式 齐次线性方程组的通解结构 国上一页国下一页返回帮助
齐次线性方程组的通解结构 3 函数向量组线性相关与无关的判别准则 (1) Wronsky行列式 设有n a t b 个定义在 上的向量函数 11 12 1 21 22 2 1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , ( ) , , ( ) ( ) ( ) ( ) n n n n n nn x t x t x t x t x t x t x t x t x t x t x t x t = = = 由这n个向量函数所构成的行列式 11 12 1 21 22 2 1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ( ), ( ), ( )] ( ) , ( ) ( ) ( ) n n n n n nn x t x t x t x t x t x t W x t x t x t W t x t x t x t 称为这n个向量函数所构成的Wronsky行列式
(2)定理3如果向量函数x(O)2x2()…,x1()在a≤t≤b上 线性相关则它们的 Wronsky行列式W()≡0,a≤t≤b 证明:因x(t)2x2(t)…,xn()在a≤t≤b上线性相关, 从而存在不全为零的常数c12C2…Cn,使 C1x()+C2x2()+…+cnxn(t)≡0,a≤t≤b 故对任一确定的∈[a,b,有 c1x(t)+C2x2(t0)+…+Cnxn(t0)=0, 即常向量组x(t)x2(0)…,x,(t)线性相关, 故W(t0)=0, 由t的任意性有W(t)=0,a≤t≤b 齐次线性方程组的通解结构 国上一页国下一页返回帮助
齐次线性方程组的通解结构 (2)定理3 1 2 ( ), ( ) , ( ) , ( ) 0, . n x t x t x t a t b W t a t b 如果向量函数 在 上 线性相关 则它们的Wronsky行列式 证明: 1 2 ( ), ( ) , ( ) , n 因 在 上线性相关 x t x t x t a t b 1 2 , , , n 从而存在不全为零的常数 ,使 c c c 1 1 2 2 ( ) ( ) ( ) 0, n n c x t c x t c x t a t b + + + 0 故对任一确定的 有 t a b [ , ], 1 0 2 0 0 ( ), ( ) , ( ) n 即常向量组 线性 x t x t x t 0 故W t( ) 0, = 0 由 的任意性 t 有W t a t b ( ) 0, . 1 1 0 2 2 0 0 ( ) ( ) ( ) 0, n n c x t c x t c x t + + + = 相关
(3)定理4如果(5.15)的解x()x(O)…,x(0)线性无关 则它们 Wronsky的行列式W()≠0,a≤t≤b 证明:“反证法”若有o∈[a,b使得W(t0)=0, 则数值向量组x1(t)x(4)…,x(t线性相关, 从而存在不全为零的常数2,2…,Cn,使得 C1x()+a2x2(t0)+…+Cnx(0)=0,(5.17 现在考虑函数向量 x()=1x1(1)+c2x2()+…+cnxn() 由定理2知,x()是(515)的解 齐次线性方程组的通解结构 国上一页国下一页返回帮助
齐次线性方程组的通解结构 (3)定理4 1 2 ( ), ( ) , ( ) , ( ) 0, . n x t x t x t W t a t b 如果(5.15)的解 线性无关 则它们Wronsky的行列式 证明: 0 0 若有 使得 t a b W t = [ , ], ( ) 0, “反证法” 则 1 0 2 0 0 ( ), ( ) , ( ) n 数值向量组 线性相关, x t x t x t 1 2 , , , n 从而存在不全为零的常数 ,使得 c c c 1 1 0 2 2 0 0 ( ) ( ) ( ) 0, (5.17) n n c x t c x t c x t + + + = 现在考虑函数向量 1 1 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) n n x t c x t c x t c x t + + + 由定理2知, x t( ) (5.15) , 是 的解