定理12.22(链式规则)设g在x∈D点可导,即y,y2…,yn在 °点可偏导,且f在y0=g(x9)点可微,则 (y9)1(x)+(y9)02( az x)+… ay 上式可以用矩阵表示为 ay, ay ax Ox ax ay2 ay2 Oy az az az ax. ax ax ax. a y=y ay ax. ax X=x 或用向量值函数的导数记号表为 (f°g)(x0)=f(y)g(x0)
定理 12.2.2（链式规则） 设 g 在 0 x Dg 点可导，即 m y , y , , y 1 2 在 0 x 点可偏导，且 f 在 ( ) 0 0 y = g x 点可微，则 ( ) 0 x i x z ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 2 0 0 0 2 0 1 0 1 y x y x y x i m i i m x y y z x y y z x y y z + + + = ， i = 1,2, , n。 上式可以用矩阵表示为 0 , , , 1 2 n x x x z x z x z = 0 0 1 2 2 2 2 1 2 1 2 1 1 1 1 2 , , , n x x m m m n n m y y x y x y x y x y x y x y x y x y x y y z y z y z = = = ， 或用向量值函数的导数记号表为 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 g x0 f g x = f y
例122.2设z= arctan((xy),y=e,求 d z 解由链式规则 dz az d x az d y e(1+x) dx axdx odx 1+x y 1+x2 1+xe 于是 d dx x=0
例 12.2.2 设 z = arctan( xy), x y = e ，求 d 0 d x= x z 。 解 由链式规则 2 2 2 2 2 2 d d d e (1 ) 1 e d d d 1 1 1 e x x x z z x z y y x x x x x y x x y x y x + = + = + = + + + 。 于是 1 d d 0 = x= x z
例1223设==x,而x=n-2,y=2+1y,计算2,。 解 az az Ox az ay 2x x 2 Ou Ox au ay ou y 2(u-2v)2(l4-2v)22(u-2v)+3v) 2u+y(2+v)2 (2+) az a ax az ay 2x 4(l-2v)(al-2)2(2v-)(9+2v) 2+(2a+v) (2+y)
例 12.2.3 设 y x z 2 = ，而x = u − 2v, y = 2u + v ，计算 v z u z , 。 解 2 2 2 1 2 z z x z y x x u x u y u y y = + = + − 2 2 2 2( 2 ) 2( 2 ) 2( 2 )( 3 ) 2 (2 ) (2 ) u v u v u v u v u v u v u v − − − + = − = + + + 。 2 2 2 ( 2) 1 z z x z y x x v x v y v y y = + = − + − 2 2 2 4( 2 ) ( 2 ) (2 )(9 2 ) 2 (2 ) (2 ) u v u v v u u v u v u v u v − − − + = − − = + + +