111 由行列式024=1010，知向量组agaa线性无关 005 由§2.3例5知，向量组a1,42,03也线性无关， 所以A的行秩为3. 1ù 1ù e3ù 1ù A的列向量组b,=〉 b2= b4 eǘ 2ú e4ú 0日 0日 0日 51 4个三维向量必线性相关，而其中BBB,线性无关
4个三维向量必线性相关，而其中β1β2β4线性无关
因为 10 0 120=1010 145 所以A的列秩也等于3. 例1和例2中矩阵的行秩等于列秩并非是偶然的.为了 证明这一点，我们有以下两个定理. 2矩阵的初等行列变换对矩阵的行（列秩的影响。 定理2.4.1初等行（列变换不改变矩阵的行（列秩 证明：此处只就第三种初等行变换不改变矩阵的 行秩证明之，其余两种课下自己来完成
因为 所以A的列秩也等于3. 例1和例2中矩阵的行秩等于列秩并非是偶然的.为了 证明这一点,我们有以下两个定理. 定理2.4.1 初等行(列)变换不改变矩阵的行(列)秩. 证明： 此处只就第三种初等行变换不改变矩阵的 行秩证明之，其余两种课下自己来完成
设m'n矩阵A的行向量组a1,a2,L,am,且 1 ù 4 ú ú +ka ú A= i 4 =B ú e e ú eee 4 ú ú
由 a1=u1 LLL a;=(a;+kaj)-kaj LLL am-am 可知，矩阵A的行向量组可由B的行向量组线性表示. 显然，矩阵B的行向量组可由A的行向量组线性 表示.所以，矩阵A、B的行向量组等价.从而矩阵A、 B的行向量组的秩相同
可知，矩阵A的行向量组可由B的行向量组线性表示. 显然，矩阵B的行向量组可由A的行向量组线性 表示.所以，矩阵A、B的行向量组等价.从而矩阵A、 B的行向量组的秩相同
同样的方式可证明对矩阵做一次第二第三种类型 的初等行变换，可得到矩阵的行秩也相等D 定理2.4.1对应到化简线性方程组上即为初等变换不 改变线性方程组中独立方程的个数。 定理2.4.2初等行（列）变换不改变矩阵列（行）向量间 的线性关系. A=ana2,L ,an]b.b2,L,b,]=B 则有xa1+x02+L+x,4m=0 当且仅当xb1+x,b2+L+xbn=0
定理2.4.1对应到化简线性方程组上即为初等变换不 改变线性方程组中独立方程的个数。 定理2.4.2 初等行(列)变换不改变矩阵列(行)向量间 的线性关系