中心极限定理

84.2中心极限定理定理1独立同分布的中心极限定理设随机变量序列X,X2,,X,相互独立,服从同一分布，且有期望和方差：E(Xr)= μ, D(Xr)=α2 >0, k=1,2,...则对于任意实数x，ZX,-nμk=1lim Pdt<xn-oVno

§4.2 中心极限定理 定理1 独立同分布的中心极限定理 设随机变量序列 X1 , X2 ,  , X n ,  相互独立， 服从同一分布，且有期望和方差： E(Xk ) =  , D(Xk ) = 2  0 , k =1,2,  则对于任意实数 x ，   − − = → =              − x t n k k n x e dt n X n P 1 2 2 2 1 lim   

Zx-nμ注记Y==IVng乙X,的标准化随机变量则Y,为k=llim P(Y, <x)=Φ(x).n>o即n足够大时，Y,的分布函数近似于标准正态随机变量的分布函数，近似Yn ~ N(O,1)ZX,= ~/noY, + nμ 近似服从 N(nμ,no").k=l

注 记 则Yn为 = n k Xk 1 的标准化随机变量 limP(Yn x) (x)． n  =  → 即 n 足够大时，Yn的分布函数近似于标准正态 随机变量的分布函数．   n X n Y n k k n − = =1 Y ~ N(0,1) n 近似 = n k Xk 1 = nY n + n 近似服从 N(n,n 2 )．

定理2李雅普诺夫(Liapunov)定理（不同分布设随机变量序列X,X.",Xn相互独立且有有限的期望和方差：E(X,)= μk, D(X)=02 >0, k =1,2,...记 B, =≥D(X)=Zoik=lk=1TZEn->00E(IX,-μk 2+)>0.若3S>B3td k=11则对于任意实数x，ZX-Zuk?k=1k=lim P2 dt =Φ(x)<x00n>0/2元B.1

定理2 李雅普诺夫(Liapunov)定理(不同分布) 设随机变量序列 X1 , X2 ,  , X n ,  相互独立， 且有有限的期望和方差： E(Xk ) = k , D(Xk ) = k 2  0 , k =1,2,  记   = = = = n k k n k B n D Xk 1 2 1 2 ( )  若 (| | ) 0． 1 0, 1 2   2 − ⎯⎯⎯→⎯→ = + +  n n k k k n E X B     则对于任意实数 x ，               − = = → x B X P n n k k n k k n 1 1 lim  = (x)  − − = x t e dt 2 2 2 1 

定理3德莫佛一拉普拉斯中心极限定理(DeMoivre-Laplace)设Yn~B(n,p), 0<p<1, n = 1,2,...则对任一实数x，有Y,-nplim Pdi<xn-000/np(1-p)即对任意的a<b,Y, -nplim Pl a≤dn-→/np(1-p)Y n~ N (np, np(1-p) (近似)

定理3 德莫佛 — 拉普拉斯中心极限定理 (DeMoivre-Laplace) 设Y n ~ B( n , p) , 0 < p < 1, n = 1,2,. 则对任一实数 x，有 − − → =          − − x t n n x e dt np p Y np P 2 2 2 1 (1 ) lim  即对任意的a < b,  − → =          − −  b a t n n b e dt np p Y np P a 2 2 2 1 (1 ) lim  Y n ~ N (np , np(1-p)) (近似)

中心极限定理的应用例1设有一大批种子，其中良种占1/6．试估计在任选的6000粒种子中，良种所占比例与1/6比较上下不超过1%的概率，解设X表示6000粒种子中的良种数，则X～B(6000,1/6).5000E(X) =1000, D(X)6近似50001000X~NI6

例1 设有一大批种子，其中良种占1/6．试估计 在任选的6000粒种子中，良种所占比例与1/6比较上 下不超过1%的概率． 解 设 X 表示6000粒种子中的良种数，则X ~ B(6000,1/6)． 6 5000 E(X ) =1000, D(X ) = 中心极限定理的应用       6 5000 X ~ N 1000, 近似