120第四章不定积分第二节换元积分法利用基本积分表和积分的性质，所能计算的不定积分是非常有限的．因此，有必要进一步探寻不定积分的其它求法：本节把微分法中的链式法则反过来用于求不定积分，利用中间变量的代换，得到复合函数的积分法，称为换元积分法，换元积分法通常有第一类与第二类换元法两类，一、第一类换元积分法1.第一类换元公式设函数f(u)具有原函数F(u)，如果中间变量u=o(x)可导，则由复合函数导数的链式法则，有dF(0(x)= f(0(x)0'(x)dx .根据不定积分的定义，有[ f(o(x)0(x)dx= J dF(0(x)= F(o(x)+C=[J f(u)dul=0(m) =[F(u)+Cl=0() = F(0(x)+C .于是J f(p(x)p(x)dx = F(p(x)+C .因此，我们就有定理1设f(u)具有原函数F(u)，且中间变量u=p(x)可导，则有第一换元公式[ f(p(x)p'(x)dx =Jf(u)du = F(p(x)+C .公式表明，如果积分的形式是[f(o(x)o(x)dx，那么，我们先将被积表达式中的p(x)与dx被凑成微分dp(x)；其次作变换u=p(x)f(x)=cosx将积分转化为[f(u)du的形式并求出其结果F(u)+C；最后通过变换u=p(x)的回代求出结果F(p(x))+C因此第一换元公式常称为凑微分公式，而第一换元积分法也称为读微分法在实际计算中，积分常常不直接表现为凑微分公式所要求的积分的形式，计算时应采用一些恒等运算将被积函数转化为f(p(x)p(x)。但这一步是应用凑微分公式计算积分的关键和最困难的一步，没有一般的规律可循，只有熟记基本积分表，并掌握凑微分的一些常见形式，多做一些练习，不断总结，积累经验，才能真正掌握凑的技巧.凑微分法运用时的难点在于原题并未指明应该把哪一部分凑成d（x），这需要解题经验，如果记熟下列一些微分式，解题中则会给我们以启示。=2d(v),d(x),I dx = d(n |x),dx =-=d(ax +b),xdx =e'dx = d(e'),Vx2xa. sin xdx=-d(cosx),.secxdx =d(tan x),csc xdx = -d(cot x),YXdxdxI +x =d(aretan x) .= d(arcsinx),V1- x2下面的例子，将继续展示凑微分法的解题技巧。2.凑微分的常见形式我们现在来具体介绍被积函数通过适当的恒等变形后，所能转化的凑微分的常见形式第一种形式：通过代数恒等运算，如果被积函数的形式为g(x)=kx" f(ax* +b), (k,a,b, μeR, k±0, a0),则用复合函数f(ax++b)中的ax"++b作变换，即u=ax++b，可将积分化为
120 第四章 不定积分 第二节 换元积分法 利用基本积分表和积分的性质，所能计算的不定积分是非常有限的．因此，有必要进一步探寻不 定积分的其它求法．本节把微分法中的链式法则反过来用于求不定积分，利用中间变量的代换，得到 复合函数的积分法，称为换元积分法，换元积分法通常有第一类与第二类换元法两类． 一、第一类换元积分法 1．第一类换元公式 设函数 f (u ) 具有原函数 F(u ) ，如果中间变量u = j(x) 可导，则由复合函数导数的链式法则，有 dF(j(x)) = f (j(x))j¢(x)dx ． 根据不定积分的定义，有 ( ) ( ( )) ( ) ( ( )) ( ( )) [ ( ) ] u x f x x dx dF x F x C f u du j j j j = j ¢ = = + = Ú Ú Ú ( ) [ ( ) ] ( ( )) F u x = u +C = j = F j x +C ． 于是 f (j(x))j¢ (x)dx Ú = F(j(x)) + C ． 因此，我们就有 定理 1 设 f (u ) 具有原函数 F(u ) ，且中间变量u = j(x) 可导，则有第一换元公式 f (j(x))j¢ (x)dx Ú = f (u)du Ú = F(j(x)) + C ． 公式表明，如果积分的形式是 f (j(x))j¢ (x)dx Ú ，那么，我们先将被积表达式中的j¢(x) 与dx 被凑成 微分 dj(x) ；其次作变换u = j(x) f ( x) = cos x 将积分转化为 f (u)du Ú 的形式并求出其结果 F(u) + C ；最 后通过变换u = j(x) 的回代求出结果 F(j(x)) + C ．因此第一换元公式常称为凑微分公式，而第一换元积 分法也称为凑微分法． 在实际计算中，积分常常不直接表现为凑微分公式所要求的积分的形式，计算时应采用一些恒等 运算将被积函数转化为 f (j(x))j¢(x) ．但这一步是应用凑微分公式计算积分的关键和最困难的一步，没 有一般的规律可循，只有熟记基本积分表，并掌握凑微分的一些常见形式，多做一些练习，不断总结， 积累经验，才能真正掌握凑的技巧． 凑微分法运用时的难点在于原题并未指明应该把哪一部分凑成df (x) ,这需要解题经验，如果记熟 下列一些微分式,解题中则会给我们以启示。 1 dx d(ax b) a = + ， 1 2 d d( ) 2 x x = x ， d 2d( ) x x x = ， e d d(e ) x x x = ， 1 dx d(ln | x |) x = ， 2 1 1 dx d x x Ê ˆ - = Á ˜ Ë ¯ , .sin xdx = - d(cos x)， . 2 sec xdx = d(tan x)， 2 csc xdx = -d(cot x)， 2 d d(arcsin ) 1 x x x = - ， 2 d d(arctan ) 1 x x x = + ． 下面的例子,将继续展示凑微分法的解题技巧。 2． 凑微分的常见形式 我们现在来具体介绍被积函数通过适当的恒等变形后，所能转化的凑微分的常见形式． 第一种形式：通过代数恒等运算，如果被积函数的形式为 1 g(x) kx f (ax b) m m+ = + ，(k, a,b, m Œ R, k ¹ 0, a ¹ 0) ， 则用复合函数 1 f (ax b) m+ + 中的 1 ax b m + + 作变换，即 1 u ax b m + = + ，可将积分化为
121第二节换元积分法f[ har" f(ax+ + b)dx =[f(ax+ +b)d(ax+ +b) .a(μ+1)例1 求[2cos 2xdx .解作变换u=2x，则J2cos2xdx=Jcos2xd(2x)=fcosudu=sinu+C.再以u=2x作回代，即得[2cos2xdx=sin2x+C.例 2 求[2xe dx .解作变换u=x，则[2xerdx=2]xerdx=fer'dx-fe'du=e"+C.再以u=x作回代，即得J2xet dx =e +C.1例3 求[--dx2+3x解作变换u=2+3x，则[- du =-dx =d(2 + 3x) -In |u|+C2+3xJ2+3x再以u=2+3x作回代，即得1-dx =In|2+ 3x|+C.2+3x在对变量代换熟练后，为了简化解题步骤，就不一定把中间变量写出来，只需默记在头脑中就可以了如例4求「/3x+4dx解「/3x+4dx[(3x+ 4) d(3x+ 4) (3x+4)3 +Cp(x)第二种形式：通过求导运算，如果被积函数的形式为g(x)=则用分母中的g(x)作变换，即0(x)u=(x)，可将积分化为[0(x)1d(o(x))Yp(x)((x)例5求[tan xdxsinx dx =驿-(cos x)'dx= -In |cos x|+Ctanxdxcos.xcosxcosxdx=类似地，我们有cotxdx(sin x)'dx = In |sin x| +C .sinxsinx例6求xxlnxdx={-.一dx=[一(nx)dx=d(In x)= In|Inx|+C .解xInInInxIn第三种形式：通过代数恒等运算，如果被积函数的形式为g(t)=(aresin)或(arctan)则依次1+x2V1-x2
第二节 换元积分法 121 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( 1) k kx f ax b dx f ax b d ax b a m m m m m + + + + = + + + Ú Ú ． 例 1 求 2cos 2xdx Ú ． 解 作变换u = 2x ，则 2cos 2xdx Ú = cos 2xd(2x) Ú = cos udu Ú = sin u + C ． 再以u = 2x 作回代，即得 2 cos 2xdx = sin 2x +C Ú ． 例 2 求 2 2 x xe dx Ú ． 解 作变换 2 u = x ，则 2 2 2 2 x x xe dx = xe dx Ú Ú 2 x 2 u = e dx = e du Ú Ú u = e +C ． 再以 2 u = x 作回代，即得 2 2 x xe dx Ú 2 x = e + C ． 例 3 求 1 2 3 dx + x Ú ． 解 作变换u = 2 + 3x ，则 1 2 3 dx + x Ú 1 1 (2 3 ) 3 2 3 d x x = + + Ú 1 1 3 du u = Ú 1 ln 3 = | u | +C ． 再以u = 2 + 3x 作回代，即得 1 2 3 dx + x Ú 1 ln 2 3 3 = | + x | +C ． 在对变量代换熟练后，为了简化解题步骤，就不一定把中间变量写出来，只需默记在头脑中就可 以了．如 例 4 求 3 3x + 4dx Ú ． 解 1 3 3 1 3 4 (3 4) (3 4) 3 x + dx = x + d x + Ú Ú 4 3 1 (3 4) 4 = x + + C ． 第二种形式：通过求导运算，如果被积函数的形式为 ( ) ( ) ( ) x g x x j j ¢ = ，则用分母中的j(x) 作变换，即 u = j(x) ，可将积分化为 ( ) 1 ( ( )) ( ) ( ) x dx d x x x j j j j ¢ = Ú Ú ． 例 5 求 tan xdx Ú ． 解 sin 1 tan (cos ) ln cos cos cos x xdx dx x dx x C x x = = - ¢ = - | | + Ú Ú Ú ． 类似地，我们有 cos 1 cot (sin ) ln sin sin sin x xdx dx x dx x C x x = = ¢ = | | + Ú Ú Ú ． 例 6 求 1 ln dx x x Ú ． 解 1 1 1 1 1 (ln ) (ln ) ln ln ln ln ln ln dx dx x dx d x x C x x x x x x = × = ¢ = = | | + Ú Ú Ú Ú ． 第三种形式：通过代数恒等运算，如果被积函数的形式为 2 (arcsin ) ( ) 1 f x g x x = - 或 2 (arctan ) 1 f x + x ．则依次
122第四章不定积分用复合函数f(arcsinx)或f(arctanx)中的arcsinx，arctanx作变换，可将积分化为f(arctanx)[(aresin)dx=Jf(aresin x)d(arcsinx),(f(arctanx)d(arctanx)dx:1+x2Vi-xarcsinx例 7 求[[x(1-x)arcsinVx(arcsinx1=2d()=2()驿dx:J-xVi-xVxx(1- x)/1-(Vx)2=2[arcsinxd(arcsin/x)=(arcsinVx)+C类似地，我们有arctan xE dt = 2 aretan /z (/.) =2 artan / (aeta /) (acta /) + C .Vx(1+ x)1+ x第四种形式：通过代数恒等运算，如果被积函数的形式为g(x)=(a0)，则1+(x/a)2/1-(x/a)作变换u=xa，可将积分化为J f(1±(x/a))dx =af f(1±(x/a))d(x/a)=a[f(1±u)dul=/a:例8求dx (a+0).解arctan=d(x/a) =11a1+(x/a)0-1aa11类似地，有dxd(x/a) = aresin=a2-71-(x/a)例9求下列积分：(1)2)3(4) [sin° xdx:(5) ((?sin5xcos3xdx1解本题积分前，需先用代数运算或三角变换对被积函数做适当变形rd(x+a)d(x-a)(1)[dxx+ax+ax-a-[In|x-al-In|x+a]+C2gdx3+xdx=21N4-x14-xV4-xd(4-x)=3aresin号-V4-x+C.=3arcsin=+14-x21+e'-e"_dx=-ax =Jdx-[+d(1+et) =x-In(1+e')+C.[1--（3)1+er1[1cos2dx=Jdx[cos2xdr(4)[sin’xdx =2.2x- 002a(2) -+*-sin2x+CX
122 第四章 不定积分 用复合函数 f (arcsin x) 或 f (arctan x) 中的arcsin x ，arctan x 作变换，可将积分化为 2 (arcsin ) (arcsin ) (arcsin ) 1 f x dx f x d x x = - Ú Ú ， 2 (arctan ) (arctan ) (arctan ) 1 f x dx f x d x x = + Ú Ú ． 例 7 求 arcsin (1 ) x dx x - x Ú ． 解 arcsin arcsin 1 (1 ) 1 x x dx dx x x x x = - - Ú Ú arcsin 2 ( ) 1 x d x x = - Ú 2 arcsin 2 ( ) 1 ( ) x d x x = - Ú = 2 arcsin xd(arcsin x ) Ú 2 = (arcsin x ) +C ． 类似地，我们有 arctan arctan 2 ( ) (1 ) 1 x x dx d x x x x = + + Ú Ú = 2 arctan x d(arctan x ) Ú 2 = (arctan x ) +C ． 第四种形式：通过代数恒等运算，如果被积函数的形式为 2 1 ( ) 1 ( ) g x x a = + 或 2 1 1- (x a) (a ¹ 0)，则 作变换u = x a ，可将积分化为 2 2 2 (1 ( ) ) (1 ( ) ) ( ) [ (1 ) ] u x a f x a dx a f x a d x a a f u du Ú ± = Ú ± = ± = ． 例 8 求 2 2 1 dx (a 0) a x ¹ + Ú ． 解 2 2 2 1 1 1 ( ) 1 ( ) dx d x a a x a x a = + + Ú Ú 1 arctan x C a a = + ． 类似地，有 2 2 2 1 1 ( ) 1 ( ) dx d x a a x x a = - - Ú Ú arcsin x C a = + ． 例 9 求下列积分： (1) 2 2 1 dx x - a Ú ； (2) 2 3 d 4 x x x + - Ú ； (3) 1 d 1 x x + e Ú ； (4) 2 sin xdx Ú ； (5) 1 d 1 cos x + x Ú ； (6) sin 5x cos 3xdx Ú ． 解 本题积分前，需先用代数运算或三角变换对被积函数做适当变形． (1) 2 2 1 1 1 1 d d 2 x x x a a x a x a Ê ˆ = Á - ˜ - Ë - + ¯ Ú Ú 1 d ( ) d ( ) [ ] 2 x a x a a x a x a - + = - - + Ú Ú 1 [ln ln ] 2 x a x a C a = - - + + 1 ln . 2 x a C a x a - = + + (2) 2 2 2 3 d d 3 d 4 4 4 x x x x x x x x + = + - - - Ú Ú Ú ( ) 2 2 1 2 3arcsin d 4 2 4 x x x - = + - - Ú 2 3arcsin 4 . 2 x = - - x + C (3) 1 1 e e e d d 1 d 1 e 1 e 1 e x x x x x x x x x + - Ê ˆ = = Á - ˜ + + Ë + ¯ Ú Ú Ú ( ) 1 d d 1 e 1 e x x = x - + + Ú Ú ln (1 e ) . x = x - + + C (4) 2 1 cos 2 1 1 sin d d d cos 2 d 2 2 2 x x x x x x x - = = - Ú Ú Ú Ú ( ) 1 1 cos 2 d 2 2 4 = x - x x Ú 1 1 sin 2 . 2 4 = x - x + C