山东理工大学理学院备课纸 年月日 四、转置 1.定义：设A=(a,)m,A的转置矩阵是指矩阵 a1a1.a1】 aa2.a2 . （ama.an 记作A或4. 2.性质 ①(A'=A ②(A±By=A±B ③(AB)'=B'A ④(k4)'-kA ⑤若A为方阵，4=4. 五、矩阵的多项式 设fx)=a,x+anx-++ax+a,矩阵A是一个n阶方阵，则 f(A)=a,"+a+.+aA+aoE 例a=r+2446,矩阵4-孔求山 第6页
山东理工大学理学院备课纸 年 月 日 四、转置 1．定义：设 ( ) , A a A = ij s n 的转置矩阵是指矩阵 11 21 1 12 22 2 1 2 s s n n sn a a a a a a a a a 记作 A 或 T A ． 2．性质 ① ( ) A A = ② ( ) A B A B = ③ ( ) AB B A = ④ ( ) kA kA = ⑤ 若 A 为方阵， A A = ． 五、矩阵的多项式 设 1 1 1 0 ( ) n n n n f x a x a x a x a − = + + + + − ，矩阵 A 是一个 n 阶方阵，则 1 1 1 0 ( ) n n n n f A a A a A a A a E − = + + + + − 例 3 2 f x x x x ( ) 3 2 5 6 = + + + ，矩阵 1 2 1 1 A = ，求 f A( ) 第 6 页
山东理工大学理学院备课纸 年月日 S3矩阵乘积的行列式与秩 一、非退化矩阵 1.定义：A为数域P上的n级矩阵，若4+0，则A称为非退化的： 若A=0,称A为退化的. 注：n级矩阵A非退化台(4)=n台A≠0： n级矩阵A退化台R4)<n台A=0. 二、矩阵乘积的行列式 1.定理1设A,B为数域P上的n级矩阵，则A=4 对于n级方阵A,B,一般情况下，AB≠BA 但是AB=BA=ABE 例. 46 68 2。推广：A,4.,4为数域P上的n级方阵，则 144.A日4川4.A,1. 3.推论：设AB为数域P上的n级矩阵，则 AB非退化一AB都非退化： AB退化一A或B退化. 第7页
山东理工大学理学院备课纸 年 月 日 §3 矩阵乘积的行列式与秩 一、非退化矩阵 1．定义： A 为数域 P 上的 n 级矩阵，若 A 0 ，则 A 称为非退化的； 若 A = 0 ，称 A 为退化的． 注： n 级矩阵 A 非退化 R A n ( ) = A 0 ； n 级矩阵 A 退化 R A n ( ) A = 0． 二、矩阵乘积的行列式 1．定理 1 设 A B, 为数域 P 上的 n 级矩阵，则 AB A B = ． 对于 n 级方阵 A B, ，一般情况下， AB BA ， 但是 AB BA A B = = 例． 2 4 2 4 , 1 2 3 6 A B − = = − − − 16 32 0 0 8 16 0 0 AB BA − − = = 2．推广： 1 2 , , , A A A s 为数域 P 上的 n 级方阵，则 1 2 1 2 | | | || | | | A A A A A A s s = ． 3．推论：设 A B, 为数域 P 上的 n 级矩阵，则 AB 非退化 A B, 都非退化； AB 退化 A 或 B 退化． 第 7 页
山东理工大学理学院备课纸 年月日 三、矩阵乘积的秩 1.定理2设An,B为矩阵，则RAB)≤min{RA),R(B 证明：设A=(a,)m,B=(b)m,AB=(c)m· 设B的行向量为B,B,.,B,C的行向量为C,C,.,Cn, 由AB=C, C=(cu:Cn2.c)=auB+aB+.+amB =a(6,ha,.,h.)+aa(6,ba,.,h.)+.+a(hl,ba,b), 易知C,C.,Cn可由B,B,.,Bn线性表示，所以R(C)≤R(B) 同理，R(C)sR(A),故R(C)smin(RA),RB}. 2.推广：若A=A4,.A,则RA)≤min{R(4),R(4),R(A,)》 四、处理习题 P199习题4,5,7,8,9,10,11,12 第8页
山东理工大学理学院备课纸 年 月 日 三、矩阵乘积的秩 1．定理 2 设 , A B n m m s 为矩阵，则 R AB R A R B ( ) min{ ( ), ( )} ． 证明：设 ( ) , ( ) A a B b = = ij nm ij ms， ( ) AB c = ij ns． 设 B 的行向量为 1 2 , , , B B B m ，C 的行向量为 1 2 , , , C C Cn， 由 AB C= ， 1 11 12 1 11 1 12 2 1 ( , , , ) C c c c a B a B a B = = + + + s m m 11 11 12 1 12 21 22 2 1 1 2 ( , , , ) ( , , , ) ( , , , ) s s m m m ms = + + + a b b b a b b b a b b b ， 易知 1 2 , , , C C Cn 可由 1 2 , , , B B B m 线性表示，所以 R C R B ( ) ( ) ． 同理， R C R A ( ) ( ) ，故 R C R A R B ( ) min{ ( ), ( )} ． 2．推广：若 A A A A = 1 2 s ，则 1 2 ( ) min{ ( ), ( ), , ( )} R A R A R A R A s 四、处理习题 P 199 习题 4， 5，7，8，9，10，11，12 第 8 页
山东理工大学理学院备课纸 年月日 §4矩阵的逆 一、可逆矩阵的定义： 1定义：设A为n级方阵，若有n级方阵B,使AB=BA=E 则称A为可逆矩阵，B为A的逆矩阵. 2.注 (1)若A可逆，则4的逆唯一，记为. (2)E1=E. 二、可逆矩阵的判定、求法 1伴随矩阵 定义：设A=(a,)m,4,是元素a,的代数余子式，矩阵 「4A. f=4. 称为A的伴随矩阵 . 性质A为n级方阵，Af=AA=AE 2.可逆判定定理 定理3矩阵A可逆一4≠0： 且4可逆时，4· 第9页
山东理工大学理学院备课纸 年 月 日 §4 矩阵的逆 一、可逆矩阵的定义： 1 定义：设 A 为 n 级方阵，若有 n 级方阵 B ，使 AB BA E = = 则称 A 为可逆矩阵，B 为 A 的逆矩阵． 2．注： （1） 若 A 可逆，则 A 的逆唯一，记为 1 A − ． （2） 1 E E − = ． 二、可逆矩阵的判定、求法 １伴随矩阵 定义： 设 ( ) A a = ij n n ， Aij 是元素 ij a 的代数余子式，矩阵 11 21 1 * 12 22 2 1 2 n n n n nn A A A A A A A A A A = 称为 A 的伴随矩阵． 性质 A 为 n 级方阵， * * AA A A A E = = 2．可逆判定定理 定理 3 矩阵 A 可逆 A 0 ； 且 A 可逆时， 1 * 1 A A A − = ． 第 9 页