定理2： min f(x) 给定点x∈2，记点x的积极约束指标集为(x)。给定(S.t.g)≤0 向量d,如果d满足 7g,(x)'d<0i∈1x) Vf(x)'d<o 则向量d是点x处的可行下降方向。 证略 ③极值点的必要条件： 定理3： 设x*∈Q,I(*)是其积极约束指标集。 f(x)和gi(x)(i∈I(x*)在点x*处可微， g(x)(i庄I(x*)在点x*处连续。 如果x*是约束极值问题)的局部极小点，则在 点x*处没有可行下降方向。 7
7 则向量 是 点 处的可行下降方向。 向 量 ，如果 满 足 给定点 记 点 的积极约束指标集为 。给定 d x f x d g x d i I x d d x Q x I x T T i ( ) 0 ( ) 0 ( ) , ( ) 设 x*Q，I(x*)是其积极约束指标集。 定理2: 定理3: 证略 ③极值点的必要条件: f (x)和gi (x)(i I(x*))在点x*处可微， gi (x)(i I(x*))在点x*处连续。 点 处没有可行下降方向。 如 果 是约束极值问题 的局部极小点，则在 * * (1) x x min ( ) . . 0 f x s t g(x)
定义5. 设ScR",称S为凸集当且仅当x1,x2∈S及V1∈0，山都有 2x1+(1-2)x2∈S 定义6. 设x,,,xne”,称x是xx2…,x,的一个凸组合当且仅当存在 ∑=1,20使x=1。 定义7.设S∈R”,称f是S上的凸函数当且仅当对x,x2∈S及 H∈0，川都有 f(2x1+(1-兄)x2)≤元fx1)+(1-)f(x2) 严格凸组合 严格凸 线性组合 定理若fx)是S上的凸函数，则ceR,水平集X={xESf(,x)≤c是凸集 若是凸函数，S是凸集，inf(X)为凸规划。凸规划的局部解是整体解！ x∈S S={x∈R”lc,()≤0，i=1,P,c(x)=0,j=p+1,p+4 般要求C,(x)当=1,2，.…p时为凸函数，当p叶1，…p叶g时为线性函数。 8
8 定义 5. 设 n S R ，称 S 为凸集当且仅当 1 2 x x S , 及 [0,1]都有 1 2 x x S + − (1 ) 定义 6. 设 1 2 , , , n p x x x R ，称 x是 1 2 , , , p x x x 的一个凸组合当且仅当存在 1 1, 0 l i i i = = 使 1 l i i i x x = = 。 定义 7. 设 n S R ，称 f 是 S 上的凸函数当且仅当对 1 2 x x S , 及 [0,1]都有 1 2 1 2 f x x f x f x ( (1 ) ) ( ) (1 ) ( ) + − + − 严格凸组合 严格凸 线性组合 定理 若 f(x)是 S 上的凸函数，则 c R，水平集 X x S f x c = ( ) 是凸集. min ( ) x S f x 若f(x)是凸函数，S是凸集， 为凸规划。 ( ) 0, 1,..., , ( ) 0, 1,..., n S x R c x i p c x j p p q = = = = + + i i 一般要求 ( ) i c x 当i=1,2,…,p时为凸函数，当i=p+1,…,p+q时为线性函数。 凸规划的局部解是整体解！
af(x) a'f(x) a2f(x) @'f(x) 0x1 Ex? x 8x2 xx af(x) a'f(x) 8'f(x) 82f(x) ax ox x xox Vf(x)= 0x2 V2f(x)= af(x) a2f(x) a'f(x) a"f(x) axm」 ox ox ax ox2 x 定理（凸函数的一阶充要条件） 若fx)在S上可微，则fx)是凸函 数当且仅当 f(x)≥f()+Vf)'(x-),E∈S 定理（凸函数的二阶充要条件）设∫：S→R二阶连续可导，则 1)f是S上的凸函数的充要条件是f的Hesse矩阵Vf(x)在S上是半正定的。 2)当7fx)在S上是正定矩阵时，f是S上的严格凸函数。（注：逆命题不成立） 9
9 2 2 2 2 1 1 2 1 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 1 2 ( ) ( ) ( ) .... ( ) ( ) ( ) ... ( ) ( ) ( ) ( ) n n n n n f x f x f x x x x x x f x f x f x x x x x x f x f x f x f x x x x x x = 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) n f x x f x f x x f x x = 定理(凸函数的一阶充要条件) 若 f(x)在 S 上可微，则 f(x)是凸函 数当且仅当 ( ) ( ) ( ) ( ) T f x f x f x x x + − ， x S 定理(凸函数的二阶充要条件) 设 f : S R 二阶连续可导，则 1)f 是 S 上的凸函数的充要条件是 f 的 Hesse 矩阵 ( ) 2 f x 在 S 上是半正定的。 2)当 ( ) 2 f x 在 S 上是正定矩阵时，f 是 S 上的严格凸函数。(注:逆命题不成立)
最优性条件 无约束规划 min f(x) r∈Rn 定理：可微函数解的必要条件：x*是局部解，则：Vf(x*)=0.x*是驻点（稳定点） 可微凸函数解的充要条件：x*是整体极小解当且仅当☑f(x*)=0. y=f(x) f八x) y=f(x) (t)=f(x*+td) 10
10 定理：可微函数解的必要条件：x*是局部解,则： = f x( *) 0. 最优性条件 min ( ) n x R f x 无约束规划 x*是驻点(稳定点) 可微凸函数解的充要条件：x*是整体极小解当且仅当 = f x( *) 0. ( ) ( * ) t f x td = +
约束规划最优性条件的几何表述 min f(x) c(x)=0 s.t.c,(x)=0,i=1,. Vf(x) 梯度共线 f(x)=4 Vf(x*)=avc(x*) 11
11 约束规划最优性条件的几何表述 min ( ) . . ( ) 0, 1,..., i f x s t c x i q = = 梯度共线 = f x c x ( *) ( *)