例题2判断向量a=(0,4,2)是否是向量组a1=(1,2,3), a2=(2,3,1),a3=(3,1,2的线性组合？ 解：先假定a=141+1242+1343,即 (0,4,2)=11(1,2,3)+12(2,3,1)+13(3,1,2) =(11+212+313,21,+312+13311+12+2l3) 因此 i11+2l2+313=0, 121,+312+13=4, 311+12+2l3=2
因此 解：先假定 即
由于该线性方程组的系数行列式 123 231 =-1810, 312 由克拉默法则知，方程组有唯一的解，可以求出 11=1,12=1,13=-1 于是口可表示 为 a=a1+u2-a3
由于该线性方程组的系数行列式 由克拉默法则知，方程组有唯一的解，可以求出 于是 可表示 为
二、线性相关和线性无关 1.定义2.3.2 设n维向量组口1，口2，口m,如果 存在不全为0的m个数k1,k2,.,km,使得 k101+k2☐2+.+km口m=0 则称向量组口1，口2，口m线性相关，否则称它们线性 无关 由定义知一个向量组要么线性相关，要么线性无关。 根据定义2.3.2，可以直接得到以下结论：
1.定义2.3.2 设n维向量组 1 , 2 ,., m ，如果 存在不全为0 的m 个数k1，k2，. ，km，使得 k1 1 + k2 2 + .+ km m = 0 则称向量组 1 , 2 ,., m 线性相关,否则称它们线性 无关. 二、线性相关和线性无关 由定义知一个向量组要么线性相关，要么线性无关。 根据定义2.3.2，可以直接得到以下结论:
出東香皇叠的向兵组必线佛帮季 韦宥枲两个向量 口=k0, ()，对应成比例，那么向量组口1，口2，口m线 性 想春量组的一个部分组线性相关，那么这向量组线 性相关.其逆否命题是：线性无关向量组的任意一个 部分组也是线性无关的. (④)只有一个向量口的向量组线性相关的充要条件是 ☐=0；
(4)只有一个向量 的向量组线性相关的充要条件是 =0; (2)如果向量组 1 , 2 ,., m中有某两个向量 i=k j (i≠j) ，对应成比例，那么向量组 1 , 2 ,., m线 性 相关 ; (1)含有零向量的向量组必线性相关. (3)向量组的一个部分组线性相关，那么这向量组线 性相关.其逆否命题是：线性无关向量组的任意一个 部分组也是线性无关的
2向量组线性关系的判定 向量组的线性关系的判定可转化为对应的齐次线性 方程组有无非零解的问题。 x41+x242+4+xn0n=0 64,d eú jú e/Gj-L2Lm e u w且 ì a1x1+412X2+L+41mXn=0 e0ù azx+a22x2+L +azn=0 LLLLLLLLL 0= eMi am+am2x2+L+amXn=O enú ě00
向量组的线性关系的判定可转化为对应的齐次线性 方程组有无非零解的问题