第一章函数极限与连续 1.1函数 1.1.1函数的概念 一函数的定义 定义1设x和y是两个变量，D是一个给定的数集，如果按某个对 应法则f对于D中的每一个数值x,总有确定的数值y和它对应，则称这 个对应法则f为定义在D上的函数，其中x称为自变量，y称为因变量，D 称为函数的定义域。函数值-一定义域-一值域。 强调：1、两个变量的关系 2、f和f(x)的含义是有区别的，前者表示自变量x与因变量y之间 的函数关系，而后者则表示与自变量x对应的函数值，习惯上常用符号(x) 或y=f(x)表示函数。 3同一个函数一一一定义域和对应法则，与自变量及因变量的字母选 取无关。 例1已知f=+,求f0,r国.f,fa,(+ r+5 +51 0+55'f)=)+1 解f0)=0+11 1+1 5x+i f(a)=a+1 x+1 1+5 a+5 x+1 f(x+1 1 x+1+x+52x+6x+3 x++5x+1+50x+)6x+263x+1 x+5 例2求函数)=的定义域。并与函数)=x-1比较，看 1
1 第一章 函数极限与连续 1．1 函数 1.1.1 函数的概念 一 函数的定义 定义 1 设 x 和 y 是两个变量 ,D 是一个给定的数集，如果按某个对 应法则 f 对于 D 中的每一个数值 x，总有确定的数值 y 和它对应，则称这 个对应法则 f 为定义在 D 上的函数，其中 x 称为自变量，y 称为因变量，D 称为函数的定义域。函数值-定义域-值域。 强调：1、两个变量的关系 2、f 和 f(x)的含义是有区别的,前者表示自变量 x 与因变量 y 之间 的函数关系，而后者则表示与自变量x对应的函数值，习惯上常用符号f(x) 或 y=f(x)表示函数。 3 同一个函数 -定义域和对应法则，与自变量及因变量的字母选 取无关。 例 1 已知 f(x)= 5 1 + + x x ，求 f(0), f(-x), f( x 1 ), f(a), f( 5 1 + + x x ). 解 f(0)= 0 5 0 1 + + = 5 1 ，f(-x)= ( ) 5 ( ) 1 − + − + x x = 5 1 − + − + x x ， f( x 1 )= 5 1 1 1 + + x x = 5 1 1 + + x x ， f(a)= 5 1 + + a a f( 5 1 + + x x )= 5 5 1 1 5 1 + + + + + + x x x x = 1 5( 5) 1 5 + + + + + + x x x x = 6 26 2 6 + + x x = 3 13 3 + + x x 例 2 求函数 x x x f x − = 2 1 ( ) 的定义域，并与函数 f 2 (x) = x −1 比较，看
它们是否表示同一个函数。 解：f,(x)的定义域是x≠0的全体实数，即(o,0)U(0,+0):而fz(x) 的定义域是（←o,+0).由于二者的定义域不同，故f,(x)与f(x)不表示同 一个函数 例3设f(x+)=x2+x,求f(x),f(x-) 解：令x+1=t,则x=t-1,fx+1)=(1-1)2+(1-1)=12-1,即 f)=1-1)2+1-1)=12-1所以f(x)=x2-x fx-1)=(x-1)2-(x-1)=x2-3x+2 二函数的表示方法三种：表格法、图形法、解析法，有时也可以用语言描 述。 三反函数 定义2设函数y=(x)的定义域是数集D,值域是数集.若对每一个 y∈W都有唯一的x∈D满足f(x)=y,那么就把此x的值作为取定的 y值的对应值，从而得到一个定义在胃上的新函数。这个新函数称为 y=f(x)的反函数，记作x=f-y)。 注意：1个函数的定义域为W,值域为D。 2相对于反函数x=∫-(y)来说原来的函数y=f(x)称为直接函数。 3习惯上用字母x表示自变量，字母y表示因变量，因此y=f(x)的反函 数常记为y=f(x),称y=f(x)和y=f-(x)互为反函数。 4求反函数的一般步骤是：先从y=f(x)的中解出x得出x=f(y),再 2
2 它们是否表示同一个函数。 解：f1(x)的定义域是 x 0 的全体实数，即(- ,0) (0,+ )；而 f2(x) 的定义域是(- ,+ ).由于二者的定义域不同，故 f1(x)与 f2(x)不表示同 一个函数 例 3 设 f x + = x + x 2 ( 1) ，求 f (x) , f (x −1) 解:令 x+1=t,则 x=t-1， f x + = t − + t − = t − t 2 2 ( 1) ( 1) ( 1) ，即 f t = t − + t − = t − t 2 2 ( ) ( 1) ( 1) 所以 f x = x − x 2 ( ) ( 1) ( 1) ( 1) 3 2 2 2 f x − = x − − x − = x − x + 二 函数的表示方法三种：表格法、图形法、解析法，有时也可以用语言描 述。 三 反函数 定义 2 设函数 y = f (x) 的定义域是数集 D,值域是数集 W.若对每一个 y W 都有唯一的 xD 满足 f (x) = y ，那么就把此 x 的值作为取定的 y 值的对应值，从而得到一个定义在 W 上的新函数。这个新函数称为 y = f (x) 的反函数，记作 ( ) 1 x f y − = 。 注意：1 个函数的定义域为 W，值域为 D。 2 相对于反函数 ( ) 1 x f y − = 来说原来的函数 y = f (x) 称为直接函数。 3 习惯上用字母 x 表示自变量，字母 y 表示因变量，因此 y = f (x) 的反函 数常记为 ( ) 1 y f x − = ,称 y = f (x) 和 ( ) 1 y f x − = 互为反函数。 4 求反函数的一般步骤是：先从 y = f (x) 的中解出 x 得出 ( ) 1 x f y − = ,再
将x、y互换位置，即y=f-(x)就是y=f(x)的反函数， 例4求y=4x+3的反函数，并作出函数的图像。 解由y=4x+3 得x=-3 4 互换x、y得y=X-3 4 所以，=4x+3的反函数为y=-3 图1.1.0 4 1.1.2函数的性质 一函数的单调性 定义3设函数y=f(x)在区间(a,b)内有定义，对于(a,b)内任意两点 x、2,若当x,<x,时恒有fx)<f:)成立，则称函数y=∫)在 区间(a,b)内是单调递增的（图1.1.1）片如果对于区间(a,b)内任意两点 x、x2,若当x<x2时恒有f(,)>f(2)成立则称函数y=f(x)在 区间(a,b)内是单调递减的（图1.1.2）。称区间(a,b)为单调递增（递减） 区间。单调递增函数与单调递减函数统称为单调函数。 y b b x 注意：1同一个函数在不同的区间具有不同的单调性。例如：y=x2在 (0,+∞)内是单调递增的，而在(-0,0)内是单调递减的
3 将 x、y 互换位置，即 ( ) 1 y f x − = 就是 y = f (x) 的反函数. 例 4 求 y=4x+3 的反函数 ，并作出函数的图像。 解 由 y=4x+3 得 4 − 3 = y x 互换 x、y 得 4 − 3 = x y 所以，y=4x+3 的反函数为 4 − 3 = x y 。 图 1.1.0 1.1.2 函数的性质 一 函数的单调性 定义 3 设函数 y = f (x) 在区间(a,b)内有定义，对于（a,b）内任意两点 1 x 、 2 x ，若当 1 x ＜ 2 x 时恒有 1 f x( ) ＜ 2 f x( ) 成立， 则称函数 y = f (x) 在 区间(a,b)内是单调递增的（图 1.1.1 ）；如果对于区间(a,b)内任意两点 1 x 、 2 x ，若当 1 x ＜ 2 x 时恒有 ( ) 1 f x ＞ ( ) 2 f x 成立 则称函数 y = f (x) 在 区间(a,b)内是单调递减的（图 1.1.2）。称区间(a,b)为单调递增（递减） 区间。 单调递增函数与单调递减函数统称为单调函数。 y y 0 a b x 0 a b x 注意：1 同一个函数在不同的区间具有不同的单调性。例如： 2 y = x 在 (0,+) 内是单调递增的，而在 (−,0) 内是单调递减的
2单调性判别可以有图形、定义两种方法。 二函数的奇偶性 定义4设函数y=f(x)在区间(-a,a)内有定义，如果对于任意 x∈(a,a),都有f(-x)=-f(x)成立，则称函数y=f(x)在区间(-a,a) 内是奇函数：如果对于任意x∈(-a,a),都有f(-x)-f(x)成立，则称函 数y=f(x)在区间(-a,a)内是偶函数。如图1.1.3和图1.1.4所示。 f(x) -f(x) f(x) -f(x) 图1.1.3 图1.1.4 注意：1易知奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图形关于y轴对称。 2判别函数的奇偶性可以用定义f(-x)=f(x),图形两种方法。 三函数的周期性 定义5对于给定的函数y=f(x),若存在一个不等于零的常数T,使得 对于定义域内的所有x都有fx+T)=f(x)恒成立，则称y=f(x)是周 期函数其中T为函数的周期。 有时，在一定区域内的周期函数的周期不止一个，通常，我们把周期函数 4
4 2 单调性判别可以有图形、定义两种方法。 二 函数的奇偶性 定义 4 设函数 y = f (x) 在区间(-a,a)内有 定义， 如果对 于任意 x (-a,a)，都有 f (−x) = − f (x) 成立，则称函数 y = f (x) 在区间(-a,a) 内是奇函数；如果对于任意 x (-a,a)，都有 f (−x) = f (x) 成立，则称函 数 y = f (x) 在区间(-a,a)内是偶函数。如图 1.1.3 和图 1.1.4 所示。 y f(x) -f(x) y f(x) 0 x 0 x -f(x) 图 1.1.3 图 1.1.4 注意：1 易知奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图形关于 y 轴对称。 2 判别函数的奇偶性可以用定义 f (−x) = f (x) ，图形两种方法。 三 函数的周期性 定义 5 对于给定的函数 y = f (x) ，若存在一个不等于零的常数 T，使得 对于定义域内的所有 x 都有 f (x + T) = f (x) 恒成立，则称 y = f (x) 是周 期函数 其中 T 为函数的周期。 有时，在一定区域内的周期函数的周期不止一个，通常，我们把周期函数
的最小正周期简称为周期。例如，对于函数y=C0sx来说，2kπ(k≠0)都 是它的周期，但是习惯上说的周期2π是最小正周期。 四函数的有界性 定义6设函数y=f(x)在(a,b)内有定义，如果存在一个正数M使得对 于(a,b)内的所有x都有f(x)≤M成立，则称y=f(x)在(a,b)内是有 界的，如果这样的M不存在，则称y=f(x)在(a,b)内是无界的。例如， 函数y=cosx在实数域内是有界的，因为无论x取任何实数，|cosx|≤1 都能成立。而函数y=、在开区间(0，)内是无界的，因为不存在这样的M 使得||≤M对于(0,1)内的一切x都成立，但是它在区间(2,3)内是有 界的，例如可取)而使11≤)对于(2,3)内的一切x都成立。 1.1.3初等函数 基本初等函数：幂函数y=x“(a为实数)，指数函数 y=a(a>0,≠1)，对数函数y=lbg,x(a>0,a≠1)，三角函数 y=sinx,y=cosx,y=tanx,y=cotx,y=secx,y=cscx,反三角函数y=arcsinx, y=arccosx,=arctanx,y=arccotx统称为基本初等函数。为了今后学习 和查阅方便，现将一些常用的基本初等函数的图形及其性质列于表1-1中。 二复合函数 在各种活动和工程技术中，许多函数的关系都是非常复杂的，诸如经 济问题中的成本，一般来说，成本C可以看作是产量g的函数。而产量g 又能是时间t的函数。时间t通过产量g间接影响成本C,则成本实际上 就可以看作是时间t函数。这种函数实际上就是复合函数。 定义7设y=f(),u=p(x),与x对应的u值能使y有意义，则称 5
5 的最小正周期简称为周期。例如，对于函数 y=cosx 来说， 2k (k 0) 都 是它的周期，但是习惯上说的周期 2 是最小正周期。 四 函数的有界性 定义 6 设函数 y = f (x) 在(a,b)内有定义，如果存在一个正数 M 使得对 于(a,b)内的所有 x 都有 f (x) M 成立，则称 y = f (x) 在(a,b)内是有 界的，如果这样的 M 不存在，则称 y = f (x) 在(a,b)内是无界的。例如， 函数 y=cosx 在实数域内是有界的，因为无论 x 取任何实数，︱cosx︱ 1 都能成立。而函数 x y 1 = 在开区间 (0,1) 内是无界的，因为不存在这样的 M， 使得︱ x 1 ︱ M 对于 (0,1) 内的一切 x 都成立，但是它在区间 (2,3) 内是有 界的，例如可取 M= 2 1 而使︱ x 1 ︱ 2 1 对于 (2,3) 内的一切 x 都成立。 1.1.3 初等函数 一 基本初等函数 ： 幂函数 (为实数) y = x ，指数函数 = ( 0, 1) x y ，对数函数 y = log x( 0, 1) a ，三角函数 y=sinx,y=cosx,y=tanx,y=cotx, y=secx,y=cscx,反三角函数 y=arcsinx, y=arccosx, y=arctanx, y=arccotx 统称为基本初等函数。为了今后学习 和查阅方便,现将一些常用的基本初等函数的图形及其性质列于表 1-1 中。 二 复合函数 在各种活动和工程技术中，许多函数的关系都是非常复杂的，诸如经 济问题中的成本，一般来说，成本 C 可以看作是产量 g 的函数。而产量 g 又能是时间 t 的函数。时间 t 通过产量 g 间接影响成本 C，则成本实际上 就可以看作是时间 t 函数。这种函数实际上就是复合函数。 定义 7 设 y = f (u) , u = (x) ,与 x 对应的 u 值能使 y 有意义，则称