解:方程通解为 l(x,)=f1(x-a)+f2(x+a) 由(2)得: f1(0)+/2(2x)=0(x)…(4 又由(3)得 f(2x)+f2(0)=v(x)…(5) 由(4)与(5)得: f(x)=v(÷)-f2(0) f2(x)=0(G)-f(0
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 11 1 2 u x t f x at f x at ( , ) ( ) ( ) = − + + 解：方程通解为： 由(2)得： 1 2 f f x x (0) (2 ) ( ) (4) + = 又由(3)得： 1 2 f x f x (2 ) (0) ( ) (5) + = 由(4)与(5)得： 1 2 2 1 ( ) ( ) (0) 2 ( ) ( ) (0) 2 x f x f x f x f = − = −
所以: 1(x,0=o(x+a)+v x-at )-f1(0)-f2(0) 又由(4)得: (0)(0)=0(0) 所以 x+at x-at u(x,1)=0(--)+v( 2 (2)半无界问题的求解 采用延拓或行波方法求解
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 12 1 2 ( , ) ( ) ( ) (0) (0) 2 2 x at x at u x t f f + − = + − − 所以： 又由(4)得： 1 2 f f (0) (0) (0) + = 所以： ( , ) ( ) ( ) (0) 2 2 x at x at u x t + − = + − (2)半无界问题的求解 采用延拓或行波方法求解
例3、半无限长杆的端点受到纵向力F(t)= Asino的作用, 求解杆的振动。 unken Ys F 0 解:定解问题为: ln=a2lx2(0<x<+∞,t>0)…(1 l10=0(x),u1|=o=v(x)…(3) uxx= YS sint…(3)
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 13 例3、半无限长杆的端点受到纵向力F(t)=Asinωt的作用， 求解杆的振动。 解：定解问题为： F un |x=0 .YS 0 x 2 0 0 0 (0 , 0) (1) ( ), ( ) (3) sin (3) tt xx t t t x x u a u x t u x u x A u t YS = = = = + = = =
解:方法1:延拓法 首先,当x>a时,端点的影响没有传到,所以有: xt )=Lo(x+at)+o(x-ab)+. y( 2 2a 其次,当x<at时,端点的影响已经传到,所以定解问题必 须考虑边界影响。将定解问题作延拓: p()={9(x),x≥0 v(x)2x≥0 ∞(x)x<0 (x) Ww (x),x<0 延拓后的定解问题的解为: x+at 1(x)=[(x+0)+0(x-a)]+ 2a.x-ar H(5)d
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 14 解：方法1：延拓法 首先，当x>at时，端点的影响没有传到，所以有： ( ) ( ) ( ) + − = + + − + x a t x a t d a u x t x at x at . 2 . 1 2 1 ( , ) 其次，当x<at时，端点的影响已经传到，所以定解问题必 须考虑边界影响。将定解问题作延拓： 1 ( ), 0 ( ) ( ), 0 x x x x x = 1 ( ), 0 ( ) ( ), 0 x x x x x = 延拓后的定解问题的解为： ( ) ( ) ( ) . . 1 1 ( , ) 2 2 x at x at u x t x at x at d a + − = + + − +
欲使延拓后的解限制在x≌0上时为原定解问题的解,只需 让延拓解满足边界条件,即 x|x=0 =[0(a)+0(-a)+甲(an) p(-at a 2a sin ot Y 为此:令 o(a)+(a)=0 只要:(x)=(-x) 又令1 plat pG-C sin ot 2a 2a YS
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 15 欲使延拓后的解限制在x≥0上时为原定解问题的解，只需 让延拓解满足边界条件，即： 为此：令 0 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 2 2 2 x x u at at at at a a = = + − + − − sin A t YS = + − = (at at ) ( ) 0 只要： 1 ( ) ( ) x x = − 又令 ( ) ( ) 1 1 sin 2 2 A at at t a a YS − − =