第一节映射与函数11当已知复合函数的表达式时，我们通过换元或凑元的方法求出外层函数，也可以求出内层函数例14已知f(/反-1)=x+2，求f(x)。解（换元法）令u=反-1，得x=（u+1)，于是f(u)=(u+1)° +2 .由函数表达式与用什么字母表示无关的特性，将u换为x，得f(x)=(x+1)2 +2 .例15设f(er-)=3x-2，求f(x).解（凑元法）因为x-1=lner-l，所以3x-2=3(x-1)+1=3Iner- +1,即f(er-l)= 3Ine+-I +1 .故f(x)=3lnx+1,(x>0) .例16设f(x)=e,f[p(x)=1-x，且p(x)≥0，求p(x)表达式及定义域本例为已知复合函数的表达式反过来求“中间变量”的问题，此类问题求解的关键是将[o(x)]的表达式转化为(x)的表达式形式解由函数f的对应法则f()=e(，得f(o(x)=e(n)，又f[o(x)=1-x，有e(a)=1-x，两边取对数得，(x)=ln(1-x)，从而(x)=±/In(1-x)：因p(x)≥0，故(x)=/In(1-x).要使g(x)有定义，于是有[ln(1-x)≥01 1-x>0由此得其定义域为x≤0.5.初等函数(1）基本初等函数在自然科学和工程技术中，最常见的函数是初等函数，而六种基本初等函数（常量函数、指数函数、对数函数幂函数、三角函数、反三角函数)是构成初等函数的基础，在中学里我们已经学习过这几种函数，这里再予适当回顾，并对它们的性质略加补充.1）常量函数=f(x)=C(C为常数)，xeR2）幕函数y=x（常数αER)定义域及其性质与a的取值有关，但任意αeR,x在(0,+o)内都有意义.为了便于比较，我们只讨论x>0的情形，而x<0时的情形可根据函数的奇偶性确定当a>0时，函数y=x在(0,+o)内单调增加且无界，其图像通过原点(0,0)和点(1,1)，图1-22列出了α=1/2，1,2时幂函数在第一象限的图像当a<0时，函数y=x在（0,+oo)内单调减少且无界，其图像不过原点，但仍过点（L1)，在曲线以坐标轴为渐近线.图1-23列出了α=-1/2,-1,-2时幂函数在第一象限的图像JxD0图1-22图1-233）指数函数y=a(a>0,al)
第一节 映射与函数 11 当已知复合函数的表达式时， 我们通过换元或凑元的方法求出外层函数， 也可以求出内层函数． 例 14 已知 f ( x -1) = x + 2 ，求 f (x) ． 解 (换元法)令u = x - 1，得 2 x = (u +1) ，于是 2 f (u) = (u +1) + 2 ． 由函数表达式与用什么字母表示无关的特性，将u 换为 x ，得 2 f (x) = (x +1) + 2 ． 例 15 设 1 ( ) 3 2 x f e x - = - ，求 f (x) ． 解 (凑元法) 因为 1 1 ln x x e - - = ，所以 1 3 2 3( 1) 1 3ln 1 x x x e - - = - + = + ， 即 1 1 ( ) 3ln 1 x x f e e - - = + ． 故 f (x) = 3ln x +1,(x > 0) ． 例 16 设 ( ) ( ) 1 x f x e f j x x 2 = , [ ] = - ，且j(x) ³ 0，求j(x) 表达式及定义域． 本例为已知复合函数的表达式反过来求“中间变量”的问题，此类问题求解的关键是将 f [j(x)] 的表达式转化为j(x) 的表达式形式． 解 由函数 f 的对应法则 ( ) f ( ) e 2 = ，得 2 ( ) ( ( )) x f x e j j = ，又 f [j(x)] = 1- x ，有 2 ( ) 1 x e x j = - ，两 边取对数得， 2 j (x) = ln(1- x) ，从而j(x) = ± ln(1- x) ．因j(x) ³ 0，故j(x) = ln(1- x) ．要使j(x) 有 定义，于是有 ln(1 ) 1 x x Ï - ³ 0 Ì Ó - > 0 ， 由此得其定义域为 x £ 0 ． 5．初等函数 (1) 基本初等函数 在自然科学和工程技术中，最常见的函数是初等函数，而六种基本初等函数(常量函数、指数函 数、对数函数幂函数、三角函数、反三角函数)是构成初等函数的基础，在中学里我们已经学习过这 几种函数，这里再予适当回顾，并对它们的性质略加补充． 1) 常量函数 y = f (x) = C (C 为常数)， xŒ R ． 2) 幂函数 y x a = (常数a Œ R )． 定义域及其性质与 a 的取值有关，但任意 R, x a a Œ 在(0,+• ) 内都有意义．为了便于比较，我们 只讨论 x > 0 的情形，而 x < 0 时的情形可根据函数的奇偶性确定． 当 a > 0 时，函数 y x a = 在(0,+• ) 内单调增加且无界，其图像通过原点(0,0) 和点(1,1) ，图 122 列出了a = 1 2, 1, 2 时幂函数在第一象限的图像． 当 a < 0 时，函数 y x a = 在(0,+• ) 内单调减少且无界，其图像不过原点，但仍过点(1,1) ，在曲线 以坐标轴为渐近线．图 123 列出了a = -1 2,-1,- 2时幂函数在第一象限的图像． 图 122 图 123 3) 指数函数 x y = a (a > 0, a ¹ 1) ．
12第一章函数极限与连续其定义域为R，由于无论x取何值，总有α>0且g°=1，所以它的图象全部在x轴上方，且通过点(0,1)：也就是说它的值域是(0.+o)：当a>1时，函数单调增加且无界，曲线以x轴负半轴为渐近线；当0<a<1时，函数单调减少且无界，曲线以x轴正半轴为渐近线。如图1-24所示．特别地:y=e.log314711图1-24图1-254)对数函数y=log,x(a>0,a#l)，xe(0,+o0)，ye(-00,+o).图象全部在y轴右方，无论a取何值，曲线都通过点(1,0)：当a>1时，函数严格单调增加且无界，曲线以v轴负半轴为渐近线：当0<a<1时，函数严格单调减少且无界，曲线以v轴正半轴为渐近线，如图1-25所示，5)三角函数正弦函数y=sinx，-l≤y≤l<x<+00.奇函数，以2元为周期，有界．如图1-26余弦函数y=cosx，-00<x<+o0，-1≤y≤1.偶函数，以2元为周期，有界，如图1-27图1-26图1-27正切函数y=tanx，x±(2k+1)元/2（keZ)，=00<y<+奇函数，以元为周期，在区间(-元/2,元/2)内单调增加，其图形对称于原点.以直线x(2k+1)元/2为渐近线，如图1-28.余切函数y=cotx,x+k元(kez)，.0奇函数，以元为周期，在区间（0,元）内严格单调递减，其图形对称于原点，以直线xk元为渐近线.如图1-29.N图1-28图1-29图1-30图1-31正割函数y=secx,x±k元+元/2(keZ)，ye(-00,-1)U(1,+0)偶函数，以2元为周期，在区间（2k元，2k元+元/2）和（2k元+元/2,2k元+元）内单调增加，在区间(2k元－元，2k元一元/2）和（2k元一元/2,2k元）内单调减少，以直线x=k元+元/2为渐近线，如图1-30.余割函数y=cscx,x±k(kez)，ye(-0,-1)U(l,+o0)奇函数，以2元为周期，在区间（2k元+元/2,2k元+元）和（2k元+元，2k元+3元/2)内单调增加，在区间(2k元一元2,2k元）和（2k元，2k元+元/2）内单调减少，以直线x=k元为渐近线．如图1-31
12 第一章 函数 极限与连续 其定义域为 R ，由于无论 x 取何值，总有 0 x a > 且 0 a = 1，所以它的图象全部在 x 轴上方，且通 过点(0,1) ．也就是说它的值域是(0,+• ) ．当 a > 1时，函数单调增加且无界，曲线以 x 轴负半轴为渐 近线；当0 < a <1 时，函数单调减少且无界，曲线以 x 轴正半轴为渐近线．如图 124 所示．特别 地: x y = e ． 图 124 图 125 4) 对数函数 log ( 0, 1) a y = x a > a ¹ ， x Œ(0,+• ) ， y Œ(-•,+• ) ． 图象全部在 y 轴右方，无论 a 取何值，曲线都通过点 (1,0) ． 当 a > 1 时，函数严格单调增加且 无界，曲线以 y 轴负半轴为渐近线；当 0 < a <1 时，函数严格单调减少且无界，曲线以 y 轴正半轴 为渐近线．如图 125 所示． 5) 三角函数 正弦函数 y = sin x ，-• < x < +• ， -1 £ y £ 1． 奇函数，以2p 为周期，有界．如图 126． 余弦函数 y = cos x , -• < x < +• ，-1 £ y £ 1． 偶函数，以2p 为周期，有界．如图 127． 图 126 图 127 正切函数 y = tan x ， x ¹ (2k +1)p 2 (k Œ Z) ， -• < y < +• ． 奇函数， 以p 为周期， 在区间(- p 2,p 2) 内单调增加， 其图形对称于原点． 以直线 x ¹ (2k + 1)p 2 为渐近线．如图 128． 余切函数 y = cot x, x ¹ kp (k Œ Z) ，-• < y < +• ． 奇函数， 以p 为周期， 在区间(0,p ) 内严格单调递减， 其图形对称于原点， 以直线 x ¹ kp 为渐近线． 如 图 129． 图 128 图 129 图 130 图 131 正割函数 y = sec x, x ¹ kp +p 2(k Œ Z) ， y Œ(-•,-1) U (1,+• ) ． 偶函数，以 2p 为周期，在区间 (2kp, 2kp + p 2) 和 (2kp +p 2,2kp + p ) 内单调增加，在区间 (2kp -p, 2kp - p 2)和(2kp - p 2,2kp ) 内单调减少，以直线 x = kp + p 2为渐近线．如图 130． 余割函数 y = c sc x, x ¹ kp (k Œ Z) ， y Œ(-•,-1) U (1,+• ) ． 奇函数，以 2p 为周期，在区间 (2kp +p 2,2kp + p ) 和 (2kp +p ,2kp + 3p 2) 内单调增加，在区间 (2kp - p 2,2kp ) 和(2kp, 2kp + p 2)内单调减少，以直线 x = kp 为渐近线．如图 131．
13第一节映射与函数6)反三角函数反三角函数是三角函数的反函数，由于三角函数都是周期函数，故对于其值域的每个值，与之对应的x值有无穷多个，因此在三角函数的定义域上，其(单值的)反函数是不存在的：为了避免多值性，我们在各个三角函数中适当选取它们的一个严格单调区间，由此得出的反函数称之为反三角函数的主值支，简称主值反正弦函数y=arcsinx,xe[-1,1],ye[-元/2,元/2]．奇函数，单调增加，有界。如图1-32.反余弦函数y=arccosx,xe[-1,1],ye[0,元]：单调减少，有界，如图1-33反正切函数y=arctanx,xe(-o0,+oo)，ye(-元/2,元/2)，奇函数，单调增加，有界。如图1-34.反余切函数y=arccotx,xe(-o,+o),ye(0,元)，单调减少，有界。如图1-35y=aretanxy=arccotxx/2图1-32图1-33图1-34图1-35(2)初等函数基本初等函数经过有限次数的四则运算与复合运算所得的由一个解析式所表示的函数称初等函数.元)，y=x2simz_！例如函数y=Vi+x，y=3sin(2x+-log，1+2x2）都是初等函数：并非所有函数13皆为初等函数，分段函数一般就不是初等函数：不是初等函数的函数统称为非初等函数，例如，符号函数sgnx，取整函数[x]都是非初等函数但也有分段函数却能用一个解析式来表示，如函数[x,x≥0f(x) =-x, x<0可以写成f(x)=，因而它是一个初等函数.下面介绍一类在应用上常遇到的初等函数---双曲函数以及它们的反函数反双曲函数.它们的定义及基本性态如下：e-e-1）双曲正弦函数y=shx=, xe(-00,+00).2此函数是奇函数，其图形通过原点并且关于原点对称.在其定义域内是严格单调增加的，当x的绝对值很大时，它的图形在第一象限内接近于曲线y；在第三象限内接近于曲线y，如23图1-35e'+e-r2）双曲余弦函数y=chx=XE(-00, +00) .2此函数是偶函数，其图形通过点（0,1)且并于轴对称，在区间（-o0,O)内是单调减少的：在区间(0,+o)内它是单调增加的．chO=1是这个函数的最小值。当x的绝对值很大时，它的图形在第一象1限内接近于曲线y=e，在第二象限内接近于曲线y=-，如图1-36.2
第一节 映射与函数 13 6) 反三角函数 反三角函数是三角函数的反函数，由于三角函数都是周期函数，故对于其值域的每个 y 值，与 之对应的 x 值有无穷多个，因此在三角函数的定义域上，其(单值的)反函数是不存在的．为了避免 多值性，我们在各个三角函数中适当选取它们的一个严格单调区间，由此得出的反函数称之为反三 角函数的主值支，简称主值． 反正弦函数 y = arcsin x , x Œ[-1,1], y Œ[- p 2,p 2] ．奇函数，单调增加，有界．如图 132． 反余弦函数 y = arccos x , x Œ[-1,1], y Œ [0,p ]．单调减少，有界．如图 133． 反正切函数 y = arctan x , x Œ(-•,+•) , y Œ (- p 2,p 2) ，奇函数，单调增加，有界．如图 134． 反余切函数 y = arc cot x , x Œ(-•,+•) , y Œ (0,p ) ，单调减少，有界．如图 135． 图 132 图 133 图 134 图 135 (2)初等函数 基本初等函数经过有限次数的四则运算与复合运算所得的由一个解析式所表示的函数称初等 函数． 例如函数 2 y = 1+ x , 2 3sin(2 ) 3 y = x + p , sin 2 2 1 2 log (1 2 ) x y x x x = - - + 都是初等函数．并非所有函数 皆为初等函数，分段函数一般就不是初等函数．不是初等函数的函数统称为非初等函数．例如，符 号函数sgn x ，取整函数[x ] 都是非初等函数．但也有分段函数却能用一个解析式来表示，如函数 , 0 ( ) , 0 x x f x x x Ï ³ = Ì Ó - < 可以写成 2 f (x) = x ，因而它是一个初等函数． 下面介绍一类在应用上常遇到的初等函数双曲函数以及它们的反函数反双曲函数． 它们的定 义及基本性态如下： 1) 双曲正弦函数 2 x x e e y sh x - - = = ， x Œ(-•,+• ) ． 此函数是奇函数， 其图形通过原点并且关于原点对称． 在其定义域内是严格单调增加的． 当 x 的 绝对值很大时，它的图形在第一象限内接近于曲线 1 2 x y = e ；在第三象限内接近于曲线 1 2 x y e - = ，如 图 135 2) 双曲余弦函数 2 x x e e y ch x - + = = ， x Œ(-•,+• ) ． 此函数是偶函数，其图形通过点(0,1) 且并于 y 轴对称，在区间(-• ,0) 内是单调减少的；在区间 (0,+• ) 内它是单调增加的．ch 0 = 1是这个函数的最小值．当 x 的绝对值很大时，它的图形在第一象 限内接近于曲线 1 2 x y = e ，在第二象限内接近于曲线 1 2 x y e - = ，如图 136．
14第一章函数极限与连续JAy=thxo图1-36图1-37shx.er-e-3）双曲正切函数xE(-00, +00) .y=chx"e'+e-,此函数是奇函数，其图形通过原点并且关于原点对称，在其定义域内是单调增加的．它的图形夹在水平直线y=1和y=-1之间；且当x的绝对值很大时，它的图形在第一象限内接近于直线y=1，而在第三象限内接近于直线V=-1，如图1-374）反双曲正弦函数文y=arshx=ln(x+Vx+1)，xe(-00,+o0)，奇函数，如图1-38放y=archx=In(x+2-1)，xe[1,+o0)，如图1-39.5）反双曲余弦函数1..1+x6）反双曲正切函数，xe(-1,1），奇函数，如图1-40.y=arthx:1-xyty=arshxy"archx10图1-38图1-39图1-40
14 第一章 函数 极限与连续 图 136 图 137 3) 双曲正切函数 x x x x sh x e e y ch x e e - - - = = + ， x Œ(-•,+• ) ． 此函数是奇函数，其图形通过原点并且关于原点对称．在其定义域内是单调增加的．它的图形 夹在水平直线 y = 1和 y = -1之间； 且当 x 的绝对值很大时，它的图形在第一象限内接近于直线 y = 1， 而在第三象限内接近于直线 y = -1，如图 137． 4) 反双曲正弦函数 2 y = arsh x = ln(x + x +1) ， x Œ(-•,+• ) ，奇函数，如图 138． 5) 反双曲余弦函数 2 y = arch x = ln(x + x -1) ， x Œ[1,+• ) ，如图 139． 6) 反双曲正切函数 1 1 ln 2 1 x y arth x x + = = - ， x Œ(- 1,1) ，奇函数，如图 140． 图 138 图 139 图 140
15第二节数列极限第二节数列极限一、数列定义1按正整数顺序排列的无穷多个数，3，x，.称为数列，简记作(x），而每个数称为数列的项，依次称为第1项，第2项，.，第n项，..，x称为通项或一般项。下面是数列的几个例子：1234n通项x,=n/(n+1).2343"n+11+(-1)"0,1,0,通项x,=[1+(-1)"1/n.2"I通项x,=(-1)"-n .1, -2,3, -4,..., (-1)-n,...,数列x可以看作是定义域为正整数集Z+的函数：X, =f(n), nezt.当自变量n依次取1,2,3,..时，对应的函数值就排列成数列x，x,,x在几何上，数列(x)可看作数轴上的一个动点，它依次取数轴上的点x，2,x（图1-41)··x图1-41定义2如果数列(x)满足≤x,≤≤x≤…，那么称数列(x)为单调递增数列；如果数列(x)满足x≥x≥≥x≥，那么称数列x)为单调递减数列单调递增和单调递减数列统称为单调数列。在几何上，单调数列(x,可看作数轴上的一个动点，这些点将随着n的增大朝着一个方向移动．单调递增时，朝数轴的正向移动；单调递减时，朝数轴的负向移动，定义3如果数列(x）所有的项都不超过某一个常数M，即x,≤M,n=1,2,...,那么称x)为有上界的数列，M称为数列(x的一个上界：如果数列x所有的项都不小于某一常数m，即x,≥m，n=1,2,..,那么称(x）为有下界的数列，m称为数列(x）的一个下界如果数列(x）既有上界又有下界，即存在非负数M，使得Ix,≤M, n=1,2,..,则称(x为有界的数列，M称为数列x的一个界．否则，称为无界的在几何上，有上界M的数列(x）的点都落在无限区间（-0,MJ内.有下界m的数列(x点都落在无限区间[m,+oo)内：有界数列的点都落在有限区间[-M,M]内．例如，下列数列(n/(n+1)，(1/2")，(-1)"-"n)，(-1)")都是有界的。定义4在数列(x）中任意抽取无限多项并保持这些项在原数列中的先后次序，这样得的一个数列称为原数列的子数列（或子列）例如，从数列([1+(-1)"1/n)中可得到子列(1/n)：
第二节 数列极限 15 第二节 数列极限 一、数列 定义 1 按正整数顺序排列的无穷多个数 1 2 , n x x ,×××, x ,×××称为数列，简记作{ }n x ，而每个数称为 数列的项，依次称为第 1 项，第 2 项，.，第n 项，.， n x 称为通项或一般项． 下面是数列的几个例子： 1 2 3 4 , , , , , , 2 3 4 5 1 n n ××× ××× + ， 通项 ( 1) n x = n n + ． 1 1 ( 1) 0,1,0, , , , 2 n n + - ××× ××× ， 通项 [1 ( 1) ] n n x = + - n ． 1 1, 2,3, 4, ( 1) , n n - - - ×××， - ××× ， 通项 1 ( 1) n n x n - = - ． 数列{ }n x 可以看作是定义域为正整数集Z + 的函数： ( ) n x = f n ， n Z + Œ ． 当自变量n 依次取1, 2,3,××× 时，对应的函数值就排列成数列 1 2 , n x x ,×××, x ,×××． 在几何上，数列{ }n x 可看作数轴上的一个动点，它依次取数轴上的点 1 2 , n x x ,×××, x ,××× (图 141)． 图 141 定义 2 如果数列{ }n x 满足 1 2 n x £ x £ ××× £ x £ ××× ， 那么称数列{ }n x 为单调递增数列； 如果数列{ }n x 满足 1 2 n x ³ x ³ ××× ³ x ³ ××× ，那么称数列{ }n x 为单调递减数列． 单调递增和单调递减数列统称为单调数列． 在几何上， 单调数列{ }n x 可看作数轴上的一个动点， 这些点将随着n 的增大朝着一个方向移动． 单调递增时，朝数轴的正向移动；单调递减时，朝数轴 的负向移动. 定义 3 如果数列{ }n x 所有的项都不超过某一个常数M ，即 n x £ M ， n = 1,2,×××， 那么称{ }n x 为有上界的数列，M 称为数列{ }n x 的一个上界．如果数列{ }n x 所有的项都不小于某一常 数 m ，即 n x ³ m ， n = 1,2,×××， 那么称{ }n x 为有下界的数列，m 称为数列{ }n x 的一个下界．如果数列{ }n x 既有上界又有下界，即存 在非负数M ，使得 n | x |£ M ， n = 1,2,×××， 则称{ }n x 为有界的数列，M 称为数列{ }n x 的一个界．否则，称为无界的． 在几何上，有上界M 的数列{ }n x 的点都落在无限区间 (-• ,M ]内．有下界m 的数列{ }n x 点都落 在无限区间[m,+• ) 内．有界数列的点都落在有限区间[-M , M ]内．例如，下列数列 {n (n + 1)}， {1 2 } n ， 1 {( 1) } n n - - ，{( 1) } n - 都是有界的． 定义 4 在数列{ }n x 中任意抽取无限多项并保持这些项在原数列中的先后次序， 这样得的一个数 列称为原数列的子数列（或子列）． 例如，从数列{[1 ( 1) ] } n + - n 中可得到子列{1 n }：