《高等数学》课程教学资源（教案讲义）第1章 函数、极限与连续

6第一章函数极限与连续法，把一个函数的定义域和对应关系表述清楚，常用的方法有表格法、图形法和解析法（公式法）这在中学数学里大家已经熟悉．其中用图形法表示函数是基于函数图形的概念，即坐标平面的点集C=((x,y)ly=f(x),xeD),称为函数y=f(x)的图形．如图1-9中的R,表示函数y=f(x)的值域-(x)D图1-9图1-10下面看几个函数的例子例5函数y=2的定义域为D=(-0,+)，值域为R,=[2)，它的图形为一条平行于x轴的直线，如图1-10所示有时一个函数要用几个式子来表示，这种在自变量的不同范围中，对应法则用不同式子表示的函数称为分段函数，不同式子的分界点称为分段函数的分段点.例6函数J2/x, 0≤x≤1f(x)=1+x,x>是一个分段函数，x=1是分段点，定义域为D=[0,+o)，值域为R,=[0,+o)，如图1-11所示.图 1-11图1-12例7绝对值函数x,x≥0y=xC,x<0是一个分段函数，x=0是分段点，定义域为D=(-0,+o0)，值域为R,=[0,+0)，如图1-12所示.例8符号函数[1,x>00,x=0y= sgnx =-1,x<0是一个分段函数，x=0是分段点，定义域为D=（-80,+)，值域为R，=(-1,0,1)，如图1-13所示.Jtty"[x]x3图 1-13图 1-14例9取整函数y=[x](不超过实数x的最大整数)是一个分段函数，所有整数都是分段点，定义域为D=（-00,+o0），值域为R，=Z，它的图形如图1-14所示

6 第一章 函数 极限与连续 法，把一个函数的定义域和对应关系表述清楚．常用的方法有表格法、图形法和解析法(公式法)， 这在中学数学里大家已经熟悉．其中用图形法表示函数是基于函数图形的概念，即坐标平面的点集 C = {(x, y) | y = f (x) ， x Œ D}， 称为函数 y = f (x) 的图形．如图 1­9 中的 R f 表示函数 y = f (x) 的值域． 图 1­9  图 1­10  下面看几个函数的例子． 例 5  函数 y = 2 的定义域为 D = (-•,+• ) ， 值域为 {2} Rf = ， 它的图形为一条平行于 x 轴的直线， 如图 1­10 所示． 有时一个函数要用几个式子来表示，这种在自变量的不同范围中，对应法则用不同式子表示的 函数称为分段函数．不同式子的分界点称为分段函数的分段点． 例 6  函数 2 ,  0 1 ( ) 1 , 1 x x  f x  x x Ï Ô £ £ = Ì Ô Ó + > ， 是一个分段函数， x = 1 是分段点，定义域为 D = [0,+• ) ，值域为 [0, ) Rf = +• ，如图 1­11 所示． 图 1­11  图 1­12  例 7  绝对值函数 ,    0 ,    0 x x  y x  x x Ï ³ =| |= Ì Ó - < 是一个分段函数， x = 0 是分段点，定义域为 D = (-•,+• ) ，值域为 [0, ) Rf = +• ，如图 1­12 所示． 例 8  符号函数 1, 0 0, 0 1, 0 x  y sgnx x  x Ï > Ô = = Ì = Ô Ó - < 是一个分段函数， x = 0 是分段点，定义域为 D = (-•,+• ) ，值域为 { 1,0,1} Rf = - ，如图 1­13 所示． 图 1­13  图 1­14  例 9  取整函数 y = [x] (不超过实数 x 的最大整数)是一个分段函数，所有整数都是分段点，定义 域为 D = (-•,+• ) ，值域为 Rf = Z ，它的图形如图 1­14 所示．

第一节映射与函数13.函数的几种特性函数时描述事物运动变化规律的数学模型，如果了解了函数的变化规律，那么基本上就把握了事物的变化规律，因此，研究函数的特性，如函数值的变化范围和变化趋势，函数图像的对称性等，是非常重要的。(1)有界性函数的有界性是研究函数值的变化范围时所表现出来的一种特性，定义6设函数y=f(x)的定义域为D，数集IcD，若存在M,(或M,)，对任意xel，有f(x)≤M,(或f(x)≥M,)则称函数f(x)在1上有上界(或下界），称M（或M,）为函数f(x)在1上的一个上界(或下界）若存在M>0，对任意给定的xeI，有If(x)I≤M，则称函数f(x)在I上有界；若这样的M不存在，则称函数f(x)在1上无界显然，函数f(x)在区间1上有界，必有f(x)在区间1上既有上界又有下界。有界函数的界不唯一。有界函数y=f(x)的图像位于在直线y=-M和y=M的之间.函数的有界性与集D有关，例如，函数f(x)=1/x在(0,1)上的有界性，因为对任意给定的M>1，存在x=1/2ME(0,I)，使If(x)HI1/xF2M>M,所以f(x）=1/x在(0,1)上是无界的(2)单调性函数的单调性是研究函数值的在某范围内变化趋势时所表现出来的一种特性。定义7设函数f(x)的定义域为D，区间IcD，如果对任意x,eI，当x<x,时，有f(x)<f(x)(或f(x)>f()),则称函数f(x）在区间1上单调增加（减少）从几何直观上看，区间1上单调增加（减少）的函数，其图像自左向右是上升（下降）的如图1-15所示.2fxo1图1-15单调增加、单调减少统称为单调．增区间和减区间统称为单调区间．在区间I上单调（严格)增加或单调（严格)减少的函数统称为区间1上的单调函数：在定义区间上单调增加或单调减少的函数统称为单调函数例如，函数f(x)=x2在区间[0,+)上单调增加，在区间（-00,0]上单调减少，而在区间(-0,+o0)上不是单调的如图1-16所示．又如，函数f(x)=x在(-,+o)内是单调增加，如图1-17所示.图1-16图1-17(3)奇偶性函数的奇偶性是研究函数在某一对称范围内图像所表现出来的一种特性

第一节 映射与函数 7 3．函数的几种特性 函数时描述事物运动变化规律的数学模型．如果了解了函数的变化规律，那么基本上就把握了 事物的变化规律，因此，研究函数的特性，如函数值的变化范围和变化趋势，函数图像的对称性等， 是非常重要的． (1)有界性 函数的有界性是研究函数值的变化范围时所表现出来的一种特性． 定义 6 设函数 y = f (x) 的定义域为 D ，数集 I à D ．若存在M1 (或M2 )，对任意 x Œ I ，有 1  f (x) £ M (或 2  f (x) ³ M )， 则称函数 f (x) 在 I 上有上界(或下界)，称M1 (或M2 )为函数 f (x) 在 I 上的一个上界(或下界)． 若存在M > 0 ，对任意给定的 x Œ I ，有| f (x) |£ M ，则称函数 f (x) 在 I 上有界；若这样的M 不存在， 则称函数 f (x) 在 I 上无界． 显然，函数 f (x) 在区间 I 上有界，必有 f (x) 在区间 I 上既有上界又有下界．有界函数的界不唯 一．有界函数 y = f (x) 的图像位于在直线 y = -M 和 y = M 的之间．函数的有界性与集 D 有关． 例如，函数 f (x) = 1 x 在(0,1) 上的有界性．因为对任意给定的M > 1 ，存在 1  x =1 2M Œ (0,1) ，使 1 1  | f (x ) |=|1 x |= 2M > M ， 所以 f (x) = 1 x 在(0,1) 上是无界的． (2)单调性 函数的单调性是研究函数值的在某范围内变化趋势时所表现出来的一种特性． 定义 7 设函数 f (x) 的定义域为 D ，区间 I à D ． 如果对任意 1 2  x , x Œ I ，当 1 2 x < x 时，有 1 2  f (x ) < f (x ) （或 1 2  f (x ) > f (x )）， 则称函数 f (x) 在区间 I 上单调增加(减少)． 从几何直观上看，区间 I 上单调增加（减少）的函数，其图像自左向右是上升（下降）的．如 图 1­15 所示． 图 1­15  单调增加、单调减少统称为单调．增区间和减区间统称为单调区间．在区间 I 上单调(严格)增 加或单调(严格)减少的函数统称为区间 I 上的单调函数．在定义区间上单调增加或单调减少的函数 统称为单调函数．例如，函数 2  f (x) = x 在区间[0,+• )上单调增加，在区间(-• ,0] 上单调减少，而在 区间(-•,+• ) 上不是单调的．如图 1­16 所示．又如，函数 3  f (x) = x 在(-•,+• ) 内是单调增加，如图 1­17 所示． 图 1­16  图 1­17 (3)奇偶性 函数的奇偶性是研究函数在某一对称范围内图像所表现出来的一种特性．

8第一章函数极限与连续定义8设函数f(x)的定义域D关于原点对称，如果对任意给定的xED，有f(-x)=f(x)，则称f(x)为偶函数，如果对任意给定的xED，有f(-x)=-f(x)，则称f(x)为奇函数偶函数的图像关于y轴对称的．事实上，由f(x)为偶函数知f(-x)=f(x)，于是在图形上任意一点A(x,f(x)，与它关于y轴对称的点A(-x,f(x)也在图形上，如图1-18所示图1-18图1-19奇函数的图像关于原点对称。事实上，由f(x)为奇函数知f(-x)=-f(x)，于是在图形上任意一点A(x,f(x)，与它关于原点对称的点A(-x-f(x))也在图形上，如图1-19所示.（4）函数的周期性函数的周期性是研究某一范围内的函数图像重复出现时所表现出来的一种特性，定义9设函数y=f(x),xeD。若存在T>0，对任意给定的xED，有(x±T)eD，且f(x+T)=f(x)，则称f(x)为周期函数，T称为f(x)的周期显然，若T为f(x)的一个周期，则kT(k=±1,±2,.）也都是它的周期，所以一个周期函数一定有无穷多个周期，通常所说周期函数的周期是指最小的正周期，注意：并不是所有函数都有最小的正周期，例如，狄利克雷函数[1，x为无理数,D(x)=[o，x为有理数.”任意正有理数都是它的周期，但此函数没有最小的正周期．又如，常量函数f(x)=C是周期函数，任何实数都是它的周期，因而不存在最小的正周期．周期函数的图形特点是在函数的定义域内，每个长度为T的区间[nT,(n+1)T](neZ)上，函数的图形有相同的形状，如图1-20所示.027图1-20判别给定函数的周期性，除了是利用周期函数的定义外，还可以利用周期函数的下列运算性质：1.若f(x)为的周期为T，则f(ax+b)(a0)是周期函数，且周期为T/lal.2.若f(x),g(x)的周期分别为T,T，则f(x)±g(x)是以T,T,的最小公倍数为周期的函数4.函数的运算在一定的条件下，对给定的几个函数，通过四则、反函数、复合等运算可以产生新的函数反过来，为研究复杂函数，也常将它们看成是由一些简单函数通过运算所得的结果，（1）函数的四则运算设函数f(x),g(x)的定义域依次为D，D,，且D=D,nD,+の，则这两个函数的和、差、积、商运算定义为：1)函数的和(差)f±g：(f±g)(x)=f(x)±g(x)xeD;2)函数的积f·g：(fg)(x)=f(x)·g(x)，xeD；3)函数的商f/g：(f/g)(x)=f(x)/g(x)，xeD-(xlg(x)±0)

8 第一章 函数 极限与连续 定义 8  设函数 f (x) 的定义域 D 关于原点对称，如果对任意给定的 x Œ D ，有 f (-x) = f (x)，则 称 f (x) 为偶函数．如果对任意给定的 x Œ D ，有 f (-x) = - f (x) ，则称 f (x) 为奇函数． 偶函数的图像关于 y 轴对称的．事实上，由 f (x) 为偶函数知 f (-x) = f (x) ，于是在图形上任意 一点 A(x, f (x))，与它关于 y 轴对称的点 A¢(- x, f (x)) 也在图形上，如图 1­18 所示． 图 1­ 18  图 1­19  奇函数的图像关于原点对称．事实上，由 f (x) 为奇函数知 f (-x) = - f (x) ，于是在图形上任意一 点 A(x, f (x))，与它关于原点对称的点 A¢¢(-x,- f (x)) 也在图形上，如图 1­19 所示． (4) 函数的周期性 函数的周期性是研究某一范围内的函数图像重复出现时所表现出来的一种特性． 定义 9  设函数 y = f (x), x Œ D ．若存在 T > 0 ，对任意给定的 x Œ D ，有 (x ±T) Œ D ，且 f (x +T) = f (x) ，则称 f (x) 为周期函数，T 称为 f (x) 的周期． 显然，若T 为 f (x) 的一个周期，则kT(k = ±1,±2,×××) 也都是它的周期，所以一个周期函数一定有 无穷多个周期，通常所说周期函数的周期是指最小的正周期． 注意：并不是所有函数都有最小的正周期，例如，狄利克雷函数 1, ,  ( ) 0, . x  D x  x Ï = Ì Ó 为无理数 为有理数 ， 任意正有理数都是它的周期，但此函数没有最小的正周期．又如，常量函数 f (x) = C 是周期函数， 任何实数都是它的周期，因而不存在最小的正周期．周期函数的图形特点是在函数的定义域内，每 个长度为T 的区间[nT,(n +1)T](n Œ Z) 上，函数的图形有相同的形状，如图 1­20 所示． 图 1­20  判别给定函数的周期性， 除了是利用周期函数的定义外， 还可以利用周期函数的下列运算性质： 1 .  o 若 f (x) 为的周期为T ，则 f (ax + b)(a ¹ 0) 是周期函数，且周期为T | a |． 2 .  o 若 f (x), g(x) 的周期分别为 1 2  T ,T ，则 f (x) ± g(x) 是以 1 2  T ,T 的最小公倍数为周期的函数． 4.  函数的运算 在一定的条件下，对给定的几个函数，通过四则、反函数、复合等运算可以产生新的函数．反 过来，为研究复杂函数，也常将它们看成是由一些简单函数通过运算所得的结果． (1) 函数的四则运算 设函数 f (x) , g(x) 的定义域依次为 D1， D2 ，且 D = D1 I D2 ¹ Æ ，则这两个函数的和、差、积、 商运算定义为： 1)  函数的和(差) f ± g ：( f ± g)(x) = f (x) ± g(x), x Œ D ； 2)  函数的积 f × g ：( f × g)(x) = f (x)× g(x), x Œ D ； 3)  函数的商 f g ：( f g)(x) = f (x) g(x), x Œ D -{x | g(x) ¹ 0}．

第一节映射与函数(2)反函数考察定义在集D上的函数y=f(x)，其中x是自变量，y是因变量，x可以独立取值，y却按确定的法则随x而定，换句话说,函数y=f(x)所要反映的是y怎样随着×而定的法则．当然，我们也可以考察x随而定的法则．作为逆映射的特例，我们有如下反函数的概念定义10设函数f:D→f(D)是单射，则它存在逆映射f-I:f(D)→D，称此映射f-I为函数f的反函数按此概念，对每个yef(D)，有唯一的xeD使得f(x)=y，于是有x=f-(y).这就是说，反函数x=f-(y)的对应法则完全由函数f的对应法则确定.例如，函数y=x,xeR是单射，所以它的反函数存在，其反函数为x=y,yeR定理若函数f是D上的单调函数，则f的反函数f-I存在，且f-也是f(D)上的单调函数证由函数f是D上的单调函数，则:D→f(D)是单射，由定义知，f的反函数存在.下面证明f是D上的单调增加函数时，f-也是f(D)上的单调增加函数.现任取,f(D)，且，按函数的定义，对，在D内存在唯一的原像，使=f()，于是=()；对y，在D内存在唯一的原像，使=f()，于是=(y).又f()f()，且f(x)的单调增加，则必有x<x2，即"(y)<(y).所以"是f(D)上的单调增加函数.类似地证明f是D上的单调减少函数时，f-I也是f(D)上的单调减少函数通常，我们把函数y=f(x),xeD的反函数x=f-(y),yef(D)称为本义反函数，而把本义反函数中x与y对调改写后的反函数y=f-(x),xef(D)称为矫形反函数。一般我们所说的反函数通常指矫形反函数。相对于反函数，原函数y=f(x)称为直接函数把直接函数y=f(x)与它的反函数y=f-(x)的图形画在同一个坐标平面上，这两个图形关于直线y=x对称（图1-21)图1-21事实上，如果P(a,b)为y=f(x)的图形上任一点，则b=f(a)，随之有a=f-l(b)，即是说在y=f-'(x)的图形上必有一点Q(b,a)与P(a,b)对应，反之亦然，经过P、Q两点的直线斜率为k=-1,它与直线y=x的斜率1互为负倒数。且线段PO的中点M(-b,h)在直线y=x上，由此推出直22线y=x垂直且平分线段Po：换句话说，P、Q两点对称于直线y=x，说明了我们的断言．利用这一性质容易做出y=f(x)的图像例10求函数 x,x<1y=x, 1≤x<42*，x≥4的反函数，解求分段函数的反函数，只要分别求出各区间段的反函数及定义域即可.由y=x,x<l，得x=y,y<l，于是反函数为y=x,x<l；

第一节 映射与函数 9 (2)反函数 考察定义在集 D 上的函数 y = f (x) ，其中 x 是自变量， y 是因变量， x 可以独立取值， y 却按 确定的法则随 x 而定．换句话说,函数 y = f (x) 所要反映的是 y 怎样随着 x 而定的法则．当然，我们 也可以考察 x 随 y 而定的法则．作为逆映射的特例，我们有如下反函数的概念． 定义 10 设函数 f : D Æ f (D) 是单射， 则它存在逆映射 1  f : f (D) D - Æ ， 称此映射 1 f - 为函数 f 的 反函数． 按此概念，对每个 y Œ f (D)，有唯一的 x Œ D 使得 f (x) = y ，于是有 1  x f ( y) - = ．这就是说，反 函数 1  x f ( y) - = 的对应法则完全由函数 f 的对应法则确定． 例如，函数 3  y = x , x Œ R 是单射，所以它的反函数存在，其反函数为 3  x = y, y Œ R ． 定理 若函数 f 是 D 上的单调函数，则 f 的反函数 1 f - 存在，且 1 f - 也是 f (D) 上的单调函数． 证 由函数 f 是 D 上的单调函数，则 f : D Æ f (D) 是单射，由定义知， f 的反函数 1 f - 存在．下 面证明 f 是 D 上的单调增加函数时， 1 f - 也是 f (D) 上的单调增加函数． 现任取 1 2  y , y Œ f (D)，且 1 2 y < y ，按函数 f 的定义，对 1 y ，在 D 内存在唯一的原像 1 x ，使 1 1  y = f (x ) ， 于是 1  1 1  x f ( y ) - = ； 对 2 y ， 在 D 内存在唯一的原像 2 x ， 使 2 2  y = f (x ) ， 于是 1  2 2  x f ( y ) - = ． 又 1 2  f (x ) < f (x ) ， 且 f (x) 的单调增加，则必有 1 2 x < x ，即 1 1  1 2  f ( y ) f ( y ) - - < ．所以 1 f - 是 f (D) 上的单调增加函数． 类似地证明 f 是 D 上的单调减少函数时， 1 f - 也是 f (D) 上的单调减少函数． 通常，我们把函数 y = f (x), x Œ D 的反函数 1  x f ( y), y  f (D) - = Œ 称为本义反函数，而把本义反函 数中 x 与 y 对调改写后的反函数 1  y f (x), x  f (D) - = Œ 称为矫形反函数．一般我们所说的反函数通常指 矫形反函数．相对于反函数，原函数 y = f (x) 称为直接函数． 把直接函数 y = f (x) 与它的反函数 1  y f (x) - = 的图形画在同一个坐标平面上，这两个图形关于直 线 y = x 对称 (图 1­21)． 图 1­21  事实上，如果 P(a,b ) 为 y = f (x) 的图形上任一点，则b = f (a) ，随之有 1  a f (b) - = ，即是说在 1  y f (x) - = 的图形上必有一点Q(b, a ) 与 P(a,b )对应，反之亦然，经过 P、 Q 两点的直线斜率为k = -1， 它与直线 y = x 的斜率 1 互为负倒数．且线段 PQ 的中点 ( , ) 2 2 a b a b M + + 在直线 y = x 上，由此推出直 线 y = x 垂直且平分线段 PQ ．换句话说，P、 Q 两点对称于直线 y = x ，说明了我们的断言．利用这 一性质容易做出 1  y f (x) - = 的图像． 例 10  求函数 2  , 1 , 1 4 2 , 4 x x x  y x x  x Ï < Ô = Ì £ < Ô Ó ³ 的反函数． 解 求分段函数的反函数，只要分别求出各区间段的反函数及定义域即可． 由 y = x, x < 1，得 x = y, y < 1，于是反函数为 y = x, x < 1；

10第一章函数极限与连续由y=x,l≤x<4，得x=y,1≤y<16，于是反函数为y=x，1≤x<16：由y=2,x≥4，得x=log2y,y≥16，于是反函数为y=log2x,x≥16综上所述，所求反函数为x,x<1Vx, 1≤x<16.3log2x,x≥16(3)复合函数复合函数是复合映射的特例，按照函数通常的记号，复合函数的概念可如下表述：定义11设有函数链y=f(u),ueDy,u=p(x),xeD,且RCD，则y=f[o(x)], xeD称为由函数y=f(u)与u=p(x)复合而成的复合函数，其中y=f(u)称为外层函数，u=p(x)称为内层函数，u称为中间变量.在复合函数的定义中，条件R,nD,の保证函数y=f(u)与u=p(x)复合后所得到的式子[g(x)中x有取值的可能．否则，尽管可以得到形式上的f[o(x)，但因x没有取值的可能，使得[o(x)不是函数。不难看出，复合函数[p(x)的定义域D或者与p(x)的定义域D。完全相同，或者只是p(x)的定义域D。的一部分。例如,y= f(u)=cos u,D, =(-00,+00),u= (x)=x,D。=(-0,+00),R,=[0,+o0),由于 R, D,,故存在复合函数y=[s(x)=cosx，其定义域为D=(-0,+)。且与u=p(x)的定义域完全相同。又如，由y=f(u)=u与u=p(x)=1-x所构成的复合函数y=/1-x2的定义域为[-1,1]，显然只是(x)=1-x的定义域D。=(-00,+)的一部分，这是因为β的值域R=(-0,1)没有包含于f的定义域D,=[0,+o)中，为了使复合函数有意义，为此必须限制函数β的定义域为[-1,1]，此时才有R,D,.再如，由y=f(u)=Vu-2与u=p(x)=sinx就不能构成复合函数y=/sinx-2：因为该函数对任何实数都没有意义(这里RnD,=[2,+)n[-1,1]=の)两个函数复合的过程其实就是“从内到外”（即由内层函数表达式代替外层函数表达式中的自变量)使之成为复合函数的表达式。而求复合函数定义域的则是“从外到内”（即由外层到内层考察相应函数在满足前一层次条件下的定义域，直到最内层），求出使表达式有意义的一切实数x，例11求复合函数y=lncosx的定义域解y=lncosx可看成是由y=lnu,u=cosx复合而成的，由u>o得cosx>o，故2k元-元/2<x<2k+元/2, =0,±1,±2,...例12已知y=f(x)的定义域为(0,4)，求f(x+a)(a>0)的定义域.解由0<x+a≤4，解得-a<x≤4-a，故f(x+a)的定义域为(-a,4-a))=二(x -1), (x)=1-x，求 [0(x)], pL(x)],/(x)的表达式及定义域.例13已知f(x）：1+ x解(代入法) (1)-二(-(二=由(1)-1,即1-x-1,得x*2.1+p(x) 1+(1-x) 2-x2x类似可得，Lf(x))=-(x±-1); [f(x)=x(x±-1)1+x

10 第一章 函数 极限与连续 由 2  y = x ,1 £ x < 4 ，得 x = y ,1 £ y < 16 ，于是反函数为 y = x, 1 £ x < 16 ； 由 2 , 4 x y = x ³ ，得 2  x = log y, y ³ 16，于是反函数为 2  y = log x, x ³ 16 ． 综上所述，所求反函数为 2  , 1 , 1 16 log , 16 x x  y x x  x x Ï < Ô = Ì £ < Ô ³ Ó ． (3)复合函数 复合函数是复合映射的特例，按照函数通常的记号，复合函数的概念可如下表述： 定义 11  设有函数链 y = f (u) ， f u Œ D ，u = j(x) ， φ  x Œ D ， 且 R φ  à Df ，则 y = f [j(x)], x Œ D 称为由函数 y = f (u) 与u = j(x) 复合而成的复合函数，其中 y = f (u) 称为外层函数， u = j(x) 称为内 层函数，u 称为中间变量． 在复合函数的定义中，条件 Rφ I Df ¹ Æ 保证函数 y = f (u) 与 u = j(x) 复合后所得到的式子 f[j(x)]中 x 有取值的可能．否则，尽管可以得到形式上的 f[j(x)] ，但因 x 没有取值的可能，使得 f[j(x)]不是函数．不难看出，复合函数 f[j(x)]的定义域 D 或者与j(x) 的定义域 Dφ 完全相同，或者 只是j(x) 的定义域 Dφ 的一部分． 例如， 2 2  ( ) cos ( , ) ( ) ( , ) [0, ) f φ  φ  y = f u = u,D = -• +• ,u = j x  = x , D = -• +• , R  = +• ，由于 R φ  à Df ，故 存在复合函数 2 2  y = f [j(x)] = cos x ，其定义域为 D = (-•,+• ) ．且与u = j(x) 的定义域完全相同． 又如，由 y = f (u) = u 与 2  u = j(x) = 1- x 所构成的复合函数 2 y = 1- x 的定义域为[-1,1] ，显然 只是 2  j(x) = 1- x 的定义域 ( , ) Dφ  = -• +• 的一部分，这是因为j 的值域 ( , Rφ  = -• 1]没有包含于 f 的定 义域 , ) Df = [0 +• 中，为了使复合函数有意义，为此必须限制函数j 的定义域为[-1,1] ，此时才有 R φ  Õ Df ． 再如，由 y = f (u) = u - 2 与u = j(x) = sin x 就不能构成复合函数 y = sin x - 2 ．因为该函数对任 何实数都没有意义(这里 [2, ) [ ] Rφ I Df = +• I -1,1 = Æ ) ． 两个函数复合的过程其实就是“从内到外” (即由内层函数表达式代替外层函数表达式中的自 变量)使之成为复合函数的表达式．而求复合函数定义域的则是 “从外到内” (即由外层到内层考 察相应函数在满足前一层次条件下的定义域，直到最内层) ，求出使表达式有意义的一切实数 x ． 例 11 求复合函数 y = ln cos x 的定义域． 解 y = ln cos x 可看成是由 y = ln u,u = cos x 复合而成的，由u > 0 得cos x > 0 ，故 2kπ - π  2 < x < 2kπ + π  2,k = 0,±1,±2,L． 例 12  已知 y = f (x) 的定义域为(0, 4]，求 f (x + a)(a > 0 ) 的定义域． 解 由0 < x + a £ 4 ，解得-a < x £ 4 - a ，故 f (x + a)的定义域为(-a,4 - a]． 例 13  已知 1 ( ) ( ) ( ) 1 1 x  f x x x x  x j - = ¹ -1 , = - + ，求 f[j(x)], j[ f (x)], f [ f (x)] 的表达式及定义域． 解(代入法) 1 ( ) 1 (1 ) [ ( )] 1 ( ) 1 (1 ) 2 x x x  f x  x x x j j j - - - = = = + + - - ．由j(x) ¹ - 1，即1- x ¹ -1，得 x ¹ 2 ． 类似可得， 2 ( )] ( ) [ ( )] ( ) x  f x x f f x x x  x j[ = ¹ -1 ; = ¹ -1 . 1+