16第一章函数极眼与连续再如，从数列(-1)"-"n)中可得到子列(2n+1)或子列(-2n)：二、数列极限的定义对于我们讨论的数列(x)来说，重要的是当n无限增大（即n→o）时，对应的x=f(n)是否能无限地接近某个确定的数值？如果能够的话，这个数值等于多少？1.数列极限的描述性定义我们先看两个例子：例1当n无限增大时，讨论数列（n（n+1）的变化趋势：由于数列(n/(n+1)是一个上界为1的单调递增数列，因而当n无限增大时，x,=n/(n+1)无限地接近确定的数值1，即当n无限增大时数列(n/(n+1)的变化趋势为无限地接近确定的数值1.此时，我们称这个数值1为数列(n/(n+1)的极限，或者称数列(n/(n+1)收敛于1，记作lim="==1.+n+1例2当n无限增大时，讨论数列-1,1,(-1)"，的变化趋势：由于在n无限增大的过程中，数列（(-1)"）的各项在-1和1上跳来跳去，因而当n无限增大时，x=(-1)"不能无限地接近某个确定的数值，即当n无限增大时数列(-1)")的变化趋势是不能无限地接近某个确定的数值.此时，我们称数列（-1)")无极限，或者说数列((-1)"）是发散的，习惯上也说lim(-1)"不存在一般地，我们有如下描述性定义，定义5如果当n无限增大时，x.无限地接近某个确定常数a，则常数a称为数列(x）的极限，或者称数列(x）收敛于a，记作limx,=a,或x,→a(n-→)如果当n无限增大时，x不能无限地接近某个确定常数，则称数列(x)无极限，或者称数列(x）发散，习惯上也说limx，不存在2.数列极限的ε-N定义有了对数列极限的直观了解后，我们来考察如何用精确的、定量化的数学语言来给出数列极限的定义：一个数列可能存在极限，也可能不存在极限；当存在极限时，随着数列x的不同，x趋于极限α的形式也各不相同，从数轴上看有如下三种情形：一是从点α的左边趋于a：二是从点α的右边趋于a；三是时而在点α的左边，时而在点a的右边趋于a．不管x趋于a的过程有多复杂，在数轴上它们总有一个共同之处，那就是当n越来越大时，点x，与极限点α之间的距离越来越小，或者说，当n无限增大时，点x无限接近点a。在数学上，用"[x-ak"来表示x与a之间的接近程度，当c任意小时，Ix-akc就表示x与a无限接近，用"n>N"来表示"n无限增大”，它表明只要N很大，而n>N就是n无限增大了，数学上这种描述无限接近与无限增大的方式带有强制性但这个强制性是合理的定义6设(x)是一个数列，如果存在常数a，对于任给的正数，总存在正整数N，使得当n>N时，不等式/x-akε都成立，则常数a称为数列(x)的极限，或者称数列(x)收敛于a，记作limx,=a，或x→a(n→)如果不存在这样的常数a，就说数列(x)没极限，或者说数列(x)是发散的，习惯上也说limx
16 第一章 函数 极限与连续 再如，从数列 1 {( 1) } n n - - 中可得到子列{2n + 1} 或子列{- 2n}． 二、数列极限的定义 对于我们讨论的数列{ }n x 来说，重要的是当n 无限增大 (即n Æ • )时，对应的 ( ) n x = f n 是否能 无限地接近某个确定的数值？如果能够的话，这个数值等于多少？ 1．数列极限的描述性定义 我们先看两个例子： 例 1 当n 无限增大时，讨论数列{n (n + 1)}的变化趋势： 由于数列{n (n + 1)}是一个上界为 1 的单调递增数列，因而当n 无限增大时， ( 1) n x = n n + 无限 地接近确定的数值 1，即当n 无限增大时数列{n (n + 1)}的变化趋势为无限地接近确定的数值 1．此 时，我们称这个数值 1 为数列{n (n + 1)}的极限，或者称数列{n (n + 1)}收敛于1，记作 lim 1 n 1 n Æ• n = + ． 例 2 当n 无限增大时，讨论数列 1,1, , ( 1) , n - ××× - ×××的变化趋势： 由于在 n 无限增大的过程中，数列{( 1) } n - 的各项在 -1 和1上跳来跳去，因而当 n 无限增大时， ( 1) n n x = - 不能无限地接近某个确定的数值，即当n 无限增大时数列{( 1) } n - 的变化趋势是不能无限地 接近某个确定的数值．此时，我们称数列{( 1) } n - 无极限，或者说数列{( 1) } n - 是发散的，习惯上也说 lim( 1) n nÆ• - 不存在． 一般地，我们有如下描述性定义． 定义 5 如果当n 无限增大时， n x 无限地接近某个确定常数a ，则常数a 称为数列{ }n x 的极限， 或者称数列{ }n x 收敛于a ，记作 lim n n x a Æ• = ，或 n x Æ a (n Æ • ) ． 如果当n 无限增大时， n x 不能无限地接近某个确定常数， 则称数列{ }n x 无极限， 或者称数列{ }n x 发散，习惯上也说lim n n x Æ• 不存在． 2．数列极限的e - N 定义 有了对数列极限的直观了解后，我们来考察如何用精确的、定量化的数学语言来给出数列极限 的定义． 一个数列可能存在极限，也可能不存在极限；当存在极限时，随着数列{ }n x 的不同， n x 趋于 极限a 的形式也各不相同，从数轴上看有如下三种情形：一是从点a 的左边趋于a ；二是从点a 的 右边趋于 a ；三是时而在点 a 的左边，时而在点 a 的右边趋于 a ．不管 n x 趋于 a 的过程有多复杂， 在数轴上它们总有一个共同之处，那就是当n 越来越大时，点 n x 与极限点 a 之间的距离越来越小， 或者说，当n 无限增大时，点 n x 无限接近点a ．在数学上，用“ | | n x - a < e ”来表示 n x 与 a 之间的接近 程度，当e 任意小时，| | n x - a < e 就表示 n x 与a 无限接近． 用“ n > N ”来表示“ n 无限增大”，它表明 只要 N 很大， 而n > N 就是 n 无限增大了．数学上这种描述无限接近与无限增大的方式带有强制性， 但这个强制性是合理的． 定义 6 设{ }n x 是一个数列， 如果存在常数a ， 对于任给的正数e ， 总存在正整数 N ， 使得当n > N 时，不等式| | n x - a < e 都成立，则常数a 称为数列{ }n x 的极限，或者称数列{ }n x 收敛于 a ，记作 lim n n x a Æ• = ，或 n x Æ a (n Æ • ) ． 如果不存在这样的常数a ，就说数列{ }n x 没极限，或者说数列{ }n x 是发散的，习惯上也说lim n n x Æ•
第二节数列极限17不存在6-N定义的几何解释：将常数a及数列(x在数轴上用它们的对应点表示出来，任给ε>0以a为中心，以为半径，在数轴上作邻域(a-6,a+).因x-ak与a-<x<a+等价，所以当n>N时，所有的点x都落在（a-6,a+）内，而只有有限个点（至多只有N个点）在这区间以外(图 1-42).4-626图1-42为了书写方便，引入记号“V”表示“对任意给定的”或“对于每一个”记号“3”表示“存在”或“有一个”，于是，“对于任给的正数"写成“ε>”，“存在正整数N”写成"3正整数N”，数列极限limx=a的定义可表达为：limx=aV>0，正整数，当n>时，有|xa.数列极限的ε-N定义未给出求极限的方法，我们可以用定义来证明极限的存在．要证明一个数列(x)的极限是a，关健是寻找一个N，使x以后的一切项x(n>N)都满足|x-ak6.下面给出寻找N的一般作法：先通过“适当放大”或"条件放大”x，-a|，使之少于某个与n有关的量：其次令它小于6，最后解n的不等式，就可找到N例3 证明lim[1+二(-1)-]=1.1证任给>0，要找正整数N，使Ix, -aH[1+=(-1)""]-1]=1/n<6 .取N=[1s]，则当n>N时，就有I[1+=(-1)"1-1] =1/n<6 .1这样，由极限的定义得lim[+((1)*" J=1.n三、收敛数列的性质1．收敛数列的性质定理1（唯一性）若数列(x}收敛，则(x）的极限唯一证用反证法，假设limx=a,limx=b，且a<b.取c=(b-a)/2，根据-N定义，应分别存在正整数N及N，，使得当n>N,时,有|x,-ak(b-a)/2，即(3a-b)/2<x,<(a+b)/2 ;当n>N,时，有|x,-bk(b-a)/2，即(a+b)/2<x<(3b-a)/2,今取N=max(N,N,)，则当n>N时，x,<(a+b)/2与x,>(a+b)/2同时成立，这是一个矛盾.所以收敛数列的极限是唯一的。由定理1的证明可知，若在两个相异点的不相交的邻域内同时含有数列（x）的项所对应的无穷多个点，则该数列一定是发散的。如数列(-1)"）是发散的，因为在-1与1的不相交的邻域内同时含有数列(x)的项所对应的无穷多个点.定理2（有界性）若数列(x）收敛，则(x）必有界
第二节 数列极限 17 不存在． e - N 定义的几何解释：将常数 a 及数列{ }n x 在数轴上用它们的对应点表示出来，任给e > 0 ， 以 a 为中心，以e 为半径，在数轴上作邻域(a -e , a + e ) ．因| | n x - a < e 与 n a -e < x < a + e 等价，所以 当 n > N 时，所有的点 n x 都落在(a -e , a + e ) 内，而只有有限个点（至多只有 N 个点）在这区间以外 (图 142)． 图 142 为了书写方便，引入记号“" ”表示 “对任意给定的”或“对于每一个”． 记号“ $ ”表示 “存在”或 “有一个”．于是，“对于任给的正数e ”写成“ "e > 0 ”，“存在正整数 N ” 写成“ $ 正整数 N ”，数列极 限 lim n n x a Æ• = 的定义可表达为： lim n n x a Æ• = ¤ "e > 0 ，$ 正整数 N ，当n > N 时，有| | n x - a < e ． 数列极限的e - N 定义未给出求极限的方法，我们可以用定义来证明极限的存在．要证明一个 数列{ }n x 的极限是a ，关健是寻找一个 N ，使 N x 以后的一切项 n x (n > N) 都满足| | n x - a < e ． 下面给出寻找 N 的一般作法：先通过“适当放大”或“条件放大”| | n x - a ，使之少于某个与n 有关 的量；其次令它小于e ，最后解n 的不等式，就可找到 N ． 例 3 证明 1 1 lim[1 ( 1) ] 1 n n n - Æ• + - = ． 证 任给e > 0 ，要找正整数 N ，使 1 1 | | |[1 ( 1) ] 1| n n x a n - - = + - - = 1 n < e ． 取 N = [1 e ] ，则当n > N 时，就有 1 1 |[1 ( 1) ] 1| n n - + - - =1 n < e ． 这样，由极限的定义得 1 1 lim[1 ( 1) ] 1 n n n - Æ• + - = ． 三、收敛数列的性质 1．收敛数列的性质 定理 1（唯一性）若数列{ }n x 收敛，则{ }n x 的极限唯一． 证 用反证法．假设lim n , lim n n n x a x b Æ• Æ• = = ，且a < b ．取e = (b - a) 2 ，根据e - N 定义，应分别存 在正整数 N 1 及 N 2 ，使得 当 1 n > N 时，有| | ( ) 2 n x - a < b - a ，即(3 ) 2 ( ) 2 n a - b < x < a + b ； 当 2 n > N 时，有| | ( ) 2 n x - b < b - a ，即( ) 2 (3 ) 2 n a + b < x < b - a ， 今取 m 1 2 N = ax{N , N }， 则当n > N 时， ( ) 2 n x < a + b 与 ( ) 2 n x > a + b 同时成立， 这是一个矛盾． 所 以收敛数列的极限是唯一的． 由定理 1 的证明可知，若在两个相异点的不相交的邻域内同时含有数列{ }n x 的项所对应的无穷 多个点，则该数列一定是发散的．如数列{( 1) } n - 是发散的，因为在-1 与1的不相交的邻域内同时含 有数列{ }n x 的项所对应的无穷多个点． 定理 2 (有界性) 若数列{ }n x 收敛，则{ }n x 必有界．