第十节连续函数的运算 与初等函数的连续性 巴一、四则运算的连续性 巴二、反函数与复合函数的连续性 巴三、初等函数的连续性 四四、小结思考题
、四则运算的连续性 定理1若函数f(x),g(x)在点x处连续 则(x)士g(),f(对)8(x f(r) g(x) (g(x0)≠0) 在点x处也连续 例如, sInx cosx 在(-∞,+∞内连续, 工工 故tanx,cotx,secx,cscx在其定义域内连续 上页
一、四则运算的连续性 定理1 . ( ( ) 0) ( ) ( ) ( ) ( ), ( ) ( ), ( ), ( ) , 0 0 0 在 点 处也连续 则 若函数 在 点 处连续 x g x g x f x f x g x f x g x f x g x x 例如, sin x,cos x在(−,+)内连续, 故 tan x,cot x,sec x,csc x 在其定义域内连续
三、反函数与复合函数的连续性 定理2严格单调的连续函数必有严格单调的连 续反函数 平例如,y=mx在-?;上单调增加且连续, 王故p=xa1山上也是单调增且连续 牛同理y=arcs0+1单调减少且连续 生y= arctan, y=arccot a在-+l上单调且连续 反三角函数在其定义域内皆连续 上页
二、反函数与复合函数的连续性 定理2 严格单调的连续函数必有严格单调的连 续反函数. 例如, ] , 2 , 2 sin 在[ 上单调增加且连续 y = x − 故 y = arcsin x 在[−1,1]上也是单调增加且连续. 同理 y = arccos x 在[−1,1]上单调减少且连续; y = arctan x, y = arccot x 在[− ,+ ]上单调且连续. 反三角函数在其定义域内皆连续
定理3若limo(x)=a,函数f()在点连续, x→>x0 王则有lm()=(0)=nmq(小 证f(a)在点u=a连续, VE>0,彐n>0,使当u-a<m时, 恒有f(a)-f(a)<碱成立 又:imq(x)=a x→>x0 对于n>0,彐8>0,使当0<x-xn<时, 上页
定理3 lim [ ( )] ( ) [lim ( )]. lim ( ) , ( ) , 0 0 0 f x f a f x x a f u a x x x x x x = = = → → → 则 有 若 函 数 在 点 连 续 证 f (u)在点u = a连续, ( ) ( ) . 0, 0, , 恒有 成立 使当 时 − − f u f a u a lim ( ) , 0 x a x x = → 又 0, 0, 0 , 对于 使当 x − x0 时
恒有q(x)-a=u-a<m成立 将上两步合起来 VE>0,38>0,使当0<x-x<时, f(u)-f(a)=p(x)-f(a)<E成立 im flo(x)=f(a=flim p(x) x→x0 →x 上页
恒有(x) − a = u − a 成立. 将上两步合起来: 0, 0, 0 , 使当 x − x0 时 f (u) − f (a) = f[(x)]− f (a) 成立. lim [ ( )] ( ) 0 f x f a x x = → [lim ( )]. 0 f x x x → =