第一节导数的概念 问题的提出 巴二、导数的定义 四三、由定义求导数 四四、导数的几何意义与物理意义 四五、可导与连续的关系 四六、小结思考题
主=、问题的提出 中1自由落体运动的瞬时速度问题 如图,求t时刻的瞬时速度, 庄取一邻近于的时刻运动时间△r △t △ 平均速度ⅴ= is S-So 8 (to +t). 工工工 Δtt-t2 当t→>t时,取极限得 2第第 瞬时速度v=lim g(to+t) 2 0 t→)t 上页
一、问题的提出 1.自由落体运动的瞬时速度问题 0 t t , 求t 0时刻的瞬时速度 t 如图, , 0 取一邻近于t 的时刻t 运动时间t, t s v 平均速度 = 0 0 t t s s − − = ( ). 2 0 t t g = + , 当t → t 0时 取极限得 2 (t t) v lim 0 0 + = → g t t 瞬时速度 . = gt0
2切线问题割线的极限位置切线位置 1.251.51.75 2.252.5 2753 上页 圆
2.切线问题 割线的极限位置——切线位置 播放
J 如图,如果割线MN绕点 y=f(r) M旋转而趋向极限位置 MT,直线MT就称为曲线 C在点M处的切线 ■" 平极限位置即 0 0 rX MN→>0,∠NMT→>0.设M(x0,y0),N(x,y) 工工工 割线MN的斜率为np=y-y=f(x)-f(xn) X- 沿曲线C 0 t-co N →>M,x→x0, 切线MT的斜率为k=tnaC=limf(x)-f(xn) x→ - 上页
T 0 o x x x y y = f (x) C N M 如图, 如果割线MN绕点 M旋转而趋向极限位置 MT,直线MT就称为曲线 C在点M处的切线. 极限位置即 MN → 0,NMT → 0. ( , ), ( , ). 0 0 设 M x y N x y 割线MN的斜率为 0 0 tan x x y y − − = , ( ) ( ) 0 0 x x f x f x − − = , , N M x x0 ⎯沿曲线 ⎯ ⎯C→ → 切线MT的斜率为 . ( ) ( ) tan lim 0 0 0 x x f x f x k x x − − = = →
庄二、导数的定义 定义设函数y=f(x)在点x的某个邻域内 有定义,当自变量x在x处取得增量Δx(点 x+△仍在该邻域内时相应地函数取 中得增量少=f(xn+Ax)-f(x如果与 △x之比当Ax→0时的极限存在则称函数 王y=f(x在点x处可导并称这个极限为函 生数y=八(在点x处的导数记为y 上页
二、导数的定义 ( ) , , ( ) , 0 , ( ) ( ); ) , , ( ( ) 0 0 0 0 0 0 0 0 x x y f x x y y f x x x x y f x x f x y x x y x x x y f x x = = = → = + − + = 数 在 点 处的导数 记 为 在 点 处可导 并称这个极限为函 之比当 时的极限存在 则称函数 得增量 如 果 与 仍在该邻域内时 相应地函数 取 有定义 当自变量 在 处取得增量 点 定义 设函数 在 点 的某个邻域内