第五节无穷小与无穷大 巴一、无穷小 巴二、无穷大 巴三、无穷小与无穷大的关系 四四、小结思考题
、无穷小 1、定义:极限为零的变量称为无穷小 定义1如果对于任意给定的正数(不论它多么小) 总存在正数δ(或正数X),使得对于适合不等式 0<x-x0<8(或x>X)的一切x,对应的函数值 ∫(x)都满足不等式f(x)<E, 上那末称函数f(x)当x→x0(或x→∞)时为无穷小 记作limf(x)=0(或limf(x)=0) x→x x→o 上页
一、无穷小 1、定义: 定义 1 如果对于任意给定的正数 (不论它多么小), 总存在正数 ( 或正数X ), 使得对于适合不等式 − 0 x x0 (或 x X )的一切x ,对应的函数值 f ( x)都满足不等式 f ( x) , 那末 称函数 f ( x)当x → x0 (或x → )时为无穷小, 记作 lim ( ) 0 ( lim ( ) 0). 0 = = → → f x f x x x x 或 极限为零的变量称为无穷小
例如, c: lim sin x=0,:函数sinx是当x→0时的无穷小 x→0 wr0.:函数是当x→>时的无穷小 庄ln=0∴数列是当→时的无穷小 王注意(1)无穷小是变量不能与很小的数混浠; (2)零是可以作为无穷小的唯一的数 上页
例如, limsin 0, 0 = → x x 函数sin x是当x → 0时的无穷小. 0, 1 lim = x→ x . 1 函数 是当x → 时的无穷小 x 0, ( 1) lim = − → n n n } . ( 1) 数列{ 是当 → 时的无穷小 − n n n 注意 （1）无穷小是变量,不能与很小的数混淆; （2）零是可以作为无穷小的唯一的数
2、无穷小与函数极限的关系 定理1limf(x)=A分>f(x)=A+a(x) x→x 其中α(x)是当x→x0时的无穷小 证必要性设im∫(x)=A,令a(x)=f(x)-A, x→x0 则有ma(x)=0,∴f(x)=A+a(x) x→x0 充分性设∫(x)=A+a(x), 其中a(x)是当x→x时的无穷小, 则im∫(x)=lim(A+a(x)=A+lima(x)=A x→>x0 x→ x→>xo 上页
2、无穷小与函数极限的关系: 证 必要性 lim ( ) , 0 f x A x x = → 设 令 (x) = f (x) − A, lim ( ) 0, 0 = → x x x 则有 f (x) = A+ (x). 充分性 设 f (x) = A+ (x), ( ) , 其中 x 是当x → x0时的无穷小 lim ( ) lim ( ( )) 0 0 f x A x x x x x = + → → 则 lim ( ) 0 A x x x = + → = A. 定理 1 lim ( ) ( ) ( ), 0 f x A f x A x x x = = + → 其中(x)是当 0 x → x 时的无穷小
意义(1)将一般极限问题转化为特殊极限问题 (无穷小) (2)给出了函数f(x)在x0附近的近似表达 式∫(x)≈A,误差为a(x) 3、无穷小的运算性质 定理2在同一过程中有限个无穷小的代数和仍是 无穷小 午证设a及B是当x→∞时的两个无穷小 Ve>0,3N1>0,N2>0,使得 上页
意义（1）将一般极限问题转化为特殊极限问题 (无穷小); ( ) , ( ). 2 ( ) 0 f x A x f x x 式 误差为 （ ）给出了函数 在 附近的近似表达 3、无穷小的运算性质: 定理2 在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是 无穷小. 证 设及是当x → 时的两个无穷小, 0,N1 0, N2 0,使得