第六节隐函数的导数由参数方程 所确定的函数的导数相关变化率 四一、隐函数的导数 四二、对数求导法 四三、由参数方程所确定的函数的导数 四四、相关变化率 四五、小结思考题
、隐函数的导数 上定义:由方程所确定的函数y=y(x)称为隐函数 y=f(x)形式称为显函数 F(x,y)=0y=f(x)隐函数的显化 问题隐函数不易显化或不能显化如何求导? 隐函数求导法则: 牛用复合函数求导法则直接对方程两边求导 上页
一、隐函数的导数 定义: 由方程所确定的函数 y = y(x)称为隐函数. y = f (x) 形式称为显函数. F(x, y) = 0 y = f (x) 隐函数的显化 问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导? 隐函数求导法则: 用复合函数求导法则直接对方程两边求导
例1求由方程x-e+e”=0所确定的隐函数 y的导数, dxdx x=0° 解方程两边对求导 y+x-e+eydy≥0 dx 解得=-,由原方程知x=0,y=0 dx+el dy e -y dx x=0 x+ey= 上页
例1 , . 0 =0 − + = x x y dx dy dx dy y xy e e 的导数 求由方程 所确定的隐函数 解 方程两边对x求导, + − + = 0 dx dy e e dx dy y x x y 解得 , y x x e e y dx dy + − = 由原方程知 x = 0, y = 0, 0 0 0 = = = + − = y y x x x x e e y dx dy = 1
例2设曲线C的方程为x3+p3=3y求过C上 33 点( 的切线方程,并证明曲线C在该点的法 线通过原点 解方程两边对求导,3x2+3y2y=3y+3xy y-r2 1。 y -x 3 3 所求切线方程为y 即x+y-3=0 2 x-2 法线方程为y-3=x-3即y=x,显然通过原点
例2 . ) , 2 3 , 2 3 ( 3 , 3 3 线通过原点 点 的切线方程 并证明曲线 在该点的法 设曲线 的方程为 求过 上 C C x + y = xy C 解 方程两边对x求导, 3x + 3 y y = 3 y + 3xy 2 2 ) 2 3 , 2 3 ( 2 2 ) 2 3 , 2 3 ( y x y x y − − = = −1. 所求切线方程为 ) 2 3 ( 2 3 y − = − x − 即 x + y − 3 = 0. 2 3 2 3 法线方程为 y − = x − 即 y = x, 显然通过原点
例3设x4-xy+y=1,求y在点(0,1)处的值 解方程两边对x求导得 4x3-y-xy2+4y3y=0 (1) 代入x=0,y=1得y1x-0 将方程(1)两边再对x求导得 12x2-2y-xy"+12y2(jy)2+4y3y"=0 代入x=0,y=1,y=0=得p1 16 上页
例 3 1, (0,1) . 设 x4 − xy + y4 = 求y 在点 处的值 解 方程两边对x求导得 4 4 0 (1) 3 3 x − y − xy + y y = 代入 x = 0, y = 1 得 ; 41 1 0 = == yx y 将方程(1)两边再对x求导得 12 2 12 ( ) 4 0 2 2 2 3 x − y − xy + y y + y y = 得41 1 0 = ==yx 代入 x = 0, y = 1, y . 161 1 0 = − == yx y