第五节高阶导数 高阶导数的定义 巴二、高阶导数求法举例 小结思考题
生一、高阶导数的定义 中问题:变速直线运动的加速度 设s=f(,则瞬时速度为v(t)=f( 加速度a是速度w对时间t变化率 ∴a(t)=v(t)=[∫(t 王定义如果函数(x的导数/x在点处可导即 c(r)=lin ∫(x+△x)-∫(x) m △x→>0 △x 存在,则称f(x)为函数f(x)在点x处的二阶导数
一、高阶导数的定义 问题:变速直线运动的加速度. 设 s = f (t), 则瞬时速度为v(t) = f (t) 加速度a是速度v对时间t的变化率 a(t) = v(t) = [ f (t)] . 定义 , ( ( )) ( ) . ( ) ( ) ( ( )) lim ( ) ( ) , 0 存 在 则 称 为函数 在 点 处的二阶导数 如果函数 的导数 在 点 处可导 即 f x f x x x f x x f x f x f x f x x x + − = →
记作f"(x),y",2或 d f(x) dx dx 二阶导数的导数称为三阶导数,f"(x)y dy dr 生三阶导数的导数称为四阶导数,(y 王一般地函数/(x)的n-1阶导数的导数称为 上函数/(x)的m阶导数记作 f(r),v, d'i 或 d" f(x) 工工 dx 二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数 相应地,f(x)称为零阶导数;f(x)称为一阶导数 上页 圆
记作 . ( ) ( ), , 2 2 2 2 dx d f x dx d y f x y 或 函 数 的 阶导数 记 作 一般地 函 数 的 阶导数的导数称为 ( ) , , ( ) 1 f x n f x n − . ( ) ( ), , ( ) ( ) n n n n n n dx d f x dx d y f x y 或 三阶导数的导数称为四阶导数, 二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数. 相应地, f (x)称为零阶导数; f (x)称为一阶导数. ( ), , . 3 3 dx d y 二阶导数的导数称为三阶导数 f x y , ( ), , . 4 4 (4) (4) dx d y f x y
生三、高阶导数求法举例 1.直接法由高阶导数的定义逐步求高阶导数 例1设y= arctan x,求f"(0),fm(0) 解y y=(,2)-2x 1+x 1+x 2x y"=( 2(3x2-1) 22)= (1+x2) (1+x2)3 (1+x2)2/x-0=0;fm(2/3x2-1) 2x ∫"(0)= (1+x)3=0-2 上页
二、 高阶导数求法举例 例1 设 y = arctan x,求f (0), f (0). 解 2 1 1 x y + = ) 1 1 ( 2 + = x y 2 2 (1 ) 2 x x + − = ) (1 ) 2 ( 2 2 + − = x x y 2 3 2 (1 ) 2(3 1) x x + − = 2 2 0 (1 ) 2 (0) = + − = x x x f 2 3 0 2 (1 ) 2(3 1) (0) = + − = x x x = 0; f = −2. 1.直接法:由高阶导数的定义逐步求高阶导数
例 设 y = ∈ R 求 解 一 m=(a(a-1)x02 J 1) 2) x J 1) c n 1) ≥ 1) 若 c 为 自 然 数 则 y =N,, y n 0
例 2 ( ), . (n) 设 y = x R 求y 解 −1 y = x( ) 1 = − y x 2 ( 1) − = − x 3 ( 1)( 2) − ( ( 1) ) = − − x 2 = − − y x ( 1) ( 1) ( 1) ( ) = − − + − y n x n n n 若为自然数n,则 ( ) ( ) ( ) n n n y = x = n!, ( !) ( 1) = + y n n = 0