第七节极限存在准则 两个重要极限 极限存在准则 两个重要极限 三、小结思考题
、极限存在准则 1夹逼准则 准则|如果数列xn,yn及乙n满足下列条件 (1)yn≤xn≤zn(n=1,2,3…) (2)lim y =a, limAn =a, n→0 n→0 那末数列xn的极限存在,且imxn=a n→0 中证yn→a,zn→a, VE>0,N1>0,N2>0,使得 上页
一、极限存在准则 1.夹逼准则 准则Ⅰ 如果数列 n n x , y 及 n z 满足下列条件: (2) lim , lim , (1) ( 1,2,3 ) y a z a y x z n n n n n n n n = = = → → 那末数列xn的极限存在, 且 xn a n = → lim . 证 y a, z a, n → n → 0, N1 0, N2 0, 使得
当n>N时恒有yn-a<6, 当n>N2时恒有kn-a<8 取N=max{1,N2},上两式同时成立 即 一8<y,<+8, n -8<Zn<a+8, 工工工 当n>N时,恒有a-E<yn≤xn≤zn<a+E 即xn-a<E成立,∴ lim x=a. n→0 上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限 王页下
, 1 n N y − a 当 时恒有 n max{ , }, 取 N = N1 N2 当n N时, 恒有 a − y a + , 即 n , 2 n N z − a 当 时恒有 n a − z a + , n 上两式同时成立, a − y x z a + , n n n 即 x − a 成立, n lim x a. n n = → 上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限
准则|′如果当x∈U2(x)(或x>M)时有 ()g(x)≤f(x)≤l(x), 生(2)mg()=4,m从x)=4 (x→>∞) 那末lmf(x)存在,且等于A. 0 (x→>∞) 准则和准则称为夹逼准则 注意:利用夹逼准则求极限关键是构造出yn与 n2 并且yn与zn的极限是容易求的 上页
准则Ⅰ′ 如果当 ( ) 0 0 x U x (或 x M )时,有 (2) lim ( ) , lim ( ) , (1) ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) 0 0 g x A h x A g x f x h x x x x x x x = = → → → → 那末 lim ( ) ( ) 0 f x x x x → → 存在, 且等于A. 注意: . , 并且 与 的极限是容易求的 利用夹逼准则求极限关键是构造出 与 n n n n y z y z 准则 和准则 '称为夹逼准则
1 中例1求im( ∴十 n→∞√n2+1√n2+2 2) n+n n n 解 < 十∴ < n2+n√n2+1 √n2+n√n2+1 1 又lm =i n→√n2+nx n lim =lim =1,由夹逼定理得 1+ n nn2+1√n2+2 m 十 + )=1 n+n 王页下
例1 ). 1 2 1 1 1 lim( 2 2 2 n n n n + n + + + + → + 求 解 , 1 1 1 1 2 2 2 2 + + + + + + n n n n n n n n n n n n n n 1 1 1 lim 2 lim + = → + → 又 = 1, 2 2 1 1 1 lim 1 lim n n n n n + = → + → = 1, 由夹逼定理得 ) 1. 1 2 1 1 1 lim( 2 2 2 = + + + + + n→ n + n n n