第二节洛必达法则 0 型及一型未定式解法:洛必达法则 0 四二、0·∞,∞-∞,09,1°,∞型未定式解法 四三、小结思考题
0 型及-型未定式解法:洛必达法则 0 定义如果当x→a(或x→∞)时,两个函数 41(x)与F(x)都趋于零或都趋于无穷大,那末 午极限im(可能存在、也可能不存在,通 工工工 (x-0) 常把这种极限称为或型未定式 tanx 0 Insin ax 例如 m lim 9x->0X x→0 In sin bx 上页
一 、型 及 型未定式解法:洛必达法则 0 0 定义 . 0 0 ( ) ( ) lim ( ) ( ) ( ) ( ) 常把这种极限称为 或 型未定式 极限 可能存在、也可能不存在．通 与 都趋于零或都趋于无穷大，那末 如果当 或 时，两个函数 → → → → F x f x f x F x x a x x x a 例如, , tan lim 0 x x x→ , lnsin lnsin lim 0 bx ax x→ ) 0 0 ( ( )
定理设 (1)当x→d时,函数f(x)及F(x)都趋于零; (2)在a点的某去心邻域内,(x)及F'(x)都存在 且F'(x)≠0; 6)mr(存在(或为无穷大 x→aF(x) 那未hm/( f(x) =lim x→aF(x)xaF'(x 定义这种在一定条件下通过分子分母分别求导再 求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则
. ( ) ( ) lim ( ) ( ) lim ( ); ( ) ( ) (3) lim ( ) 0; (2) , ( ) ( ) (1) , ( ) ( ) ; F x f x F x f x F x f x F x a f x F x x a f x F x x a x a x a = → → → → 那末 存在 或为无穷大 且 在 点的某去心邻域内 及 都存在 当 时 函数 及 都趋于零 定理 设 定义 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再 求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则
证定义辅助函数 f1(x)= 0.x=aF()=0”x=a 在U(a,)内任取一点x,在以a与x为端点的区间上, f(x),F1(x)满足柯西中值定理的条件,则有 f(x) f(x)-f(a) f(s) F(x) F(x)-F(a F() 在x与a之间) 当x→l时,→a,mf(x) =A,∴lim f(5) x→aF'(x) 5→aF(2) ∴lims f(x) A x→aF(x)5F"() 上页
证 定义辅助函数 , 0, ( ), ( ) 1 = = x a f x x a f x , 0, ( ), ( ) 1 = = x a F x x a F x ( , ) , 0 在U a 内任取一点 x 在以 a 与 x 为端点的区间上, ( ), ( ) , f1 x F1 x 满足柯西中值定理的条件 则有 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) F x F a f x f a F x f x − − = ( ) ( ) F f = (在x与a之间) 当x → a时, → a, , ( ) ( ) lim A F x f x x a = → , ( ) ( ) lim A F f a = → . ( ) ( ) lim ( ) ( ) lim A F f F x f x x a a = = → →
如果(仍属型,且∫(x),F(x)满足 F(x)0 定理的条件,可以继续使用洛必达法则,即 limf(x lim f"(x) =lim xF(x)x→aF"(x)x→F"(x) 当x→∞时,该法则仍然成立 f(r) =im F(x) x-yoo F(x) 当x→a,x→∞时的未定式一,也有相应的洛必达法则 王页下
当x → 时,该法则仍然成立. 定理的条件，可以继续使用洛必达法则，即 如果 仍属 型，且 ( ), ( ) 满足 0 0 ( ) ( ) f x F x F x f x . ( ) ( ) lim ( ) ( ) lim ( ) ( ) lim = = = → → → F x f x F x f x F x f x x a x a x a . ( ) ( ) lim ( ) ( ) lim F x f x F x f x x x = → → 当 , 时的未定式 ,也有相应的洛必达法则. x → a x →