第三节反函数的导数 复合函数的求导法则 反函数的导数 巴二、复合函数的求导法则 巴三、小结思考题
一、反函数的导数 定理如果函数x=q(y)在某区间l内单调、可导 且g(y)≠0,那末它的反函数y=f(x)在对应区间 王r内也可导,且有 工工工 f(x) p(y) 即反函数的导数等于直接函数导数的倒数 上页
一、反函数的导数 定理 . ( ) 1 ( ) , ( ) 0 , ( ) ( ) y f x I y y f x x y I x y = = = 内也可导 且有 且 那末它的反函数 在对应区间 如果函数 在某区间 内单调、可导 即 反函数的导数等于直接函数导数的倒数
证任取x∈,给x以增量△x(△x≠0,x+△x∈Ix) 由y=f(x)的单调性可知y≠0, Δy1 于是有 Ax△x∵:f(x)连续, Δy→>0(△x→>0),又知q(y)≠0 ∫"(x)=lim △ △x→0△x 4y→0Aq(y) △y 即f"(x) 1 op(y) 上页
证 , x 任取x I 给x以增量x 由y = f (x)的单调性可知 y 0, 于是有 , 1 y x x y = f (x)连续, y → 0 (x → 0), 又知( y) 0 x y f x x = →0 ( ) lim y y x = → 1 lim 0 ( ) 1 y = . ( ) 1 ( ) y f x 即 = ( 0, ) x x x + x I
士 例1求函数y= arcsin x的导数 解∵x=sin,在,∈(-,内单调、可导 22 且(siny)=c0sy>0,∴在/∈(-1,1)内有 (arcsinx)=I 1 siny’cosy1-sin2y 1 同理可得(rcy (arctan x) g:(arccot)=L 1+x 1+x 2 上页
例1 求函数 y = arcsin x的导数. 解 ) , 2 , 2 sin 在 ( 内单调、可导 x = y I y − 且 (sin y) = cos y 0, 在I x (−1,1)内有 (sin ) 1 (arcsin ) = y x cos y 1 = y 2 1 sin 1 − = . 1 1 2 − x = . 1 1 (arccos ) 2 x x − 同理可得 = − ; 1 1 (arctan ) 2 x x + = (arcsin x) . 1 1 ( cot ) 2 x x + arc = −
例2求函数y=logx的导数 解x=a在,∈(-0,+∞)内单调、可导, 且(a")=amna≠0,∴在/∈(0,+内有, (oga x)'= rna 特别地(nx)= 上页
例2 求函数 y log x的导数. = a (a ) = a ln a 0, 且 y y 在 (0,+)内有, x I ( ) 1 (log ) = a y a x a a y ln 1 = . ln 1 x a = 解 = 在 (− ,+ )内单调、可导, y y x a I 特别地 . 1 (ln ) x x =