第九节函数的连续性与间断点 巴一、函数的连续性 四二、函数的间断点 巴三、小结思考题
王-、函数的连续性 1函数的增量 设函数f(x)在U8(x有定义Ⅴx∈U(x0), △C=x-x0,称为自变量在点x的增量 午4=f(x)-f(x称为函数f(x相应于A的增量 J 工工工 y=f(x y=f( △ △ △x △ xon+△xx0lx 0 +△vx 上页
一、函数的连续性 1.函数的增量 , . ( ) ( ) , ( ), 0 0 0 0 称为自变量在点 的增量 设函数 在 内有定义 x x x x f x U x x U x = − ( ) ( ), ( ) . y = f x − f x0 称为函数 f x 相应于x的增量 x y 0 x y 0 0 x x + x 0 y = f (x) x 0 x x + x 0 x y y y = f (x)
王2,连续的定义 定义1设函数f(x)在U2(x)内有定义如 果当自变量的增量△x趋向于零时,对应的函 数的增量Δy也趋向于零,即lm△y=0或 △x→>0 imf(x0+△x)-f(x0=0,那末就称函数 △x→0 工工工 f(x)在点x连续,x称为f(x)的连续点 设x=x+△x, 4y=∫(x)-∫(x), Ax→0就是x→x0,4→0就是f(x)→f(xn)
2.连续的定义 定义 1 设函数 f (x)在 ( ) U x0 内有定义,如 果当自变量的增量x趋向于零时,对应的函 数的增量y也趋向于零,即lim 0 0 = → y x 或 lim[ ( 0 ) ( 0 )] 0 0 + − = → f x x f x x ,那末就称函数 f (x)在点x0 连续,x0 称为f (x) 的连续点. , 设 x = x0 + x ( ) ( ), x0 y = f x − f 0 , x → 就是 x → x0 0 ( ) ( ). x0 y → 就是 f x → f
庄定义2设函数f()在U(x)内有定义如果 函数f(x)当x→x时的极限存在,且等于它在 王点x处的函数值(x),即lmfx)=f(x) x→0 那末就称函数f(x)在点连续 工工工 8-8定义 V>0,3δ>0,使当x-xn<δ时, 恒有f(x)-f(x)<6 上页
定 义 2 设函数 f (x) 在 ( ) 0 U x 内有定义,如 果 函数 f (x)当x → x0时的极限存在,且等于它在 点x0处的函数值 ( ) x0 f ,即 lim ( ) ( )0 0 f x f x x x = → 那末就称函数 f (x)在点x0 连续. " − "定义: ( ) ( ) . 0, 0, , 0 0 − − f x f x x x 恒有 使当 时
例1试证函数+m ,x≠0,在x=0 0,x=0 处连续 证∵ lim x sin=0, x→0 又∫(0)=0,limf(x)=f(0), 由定义2知 函数∫(x)在x=0处连续 上页
例1 . 0 0, 0, , 0, 1 sin ( ) 处连续 试证函数 在 = = = x x x x x f x 证 0, 1 lim sin 0 = → x x x 又 f (0) = 0, 由定义2知 函数 f (x)在x = 0处连续. lim ( ) (0), 0 f x f x = →