第八节无穷小的比较 无穷小的比较 巴二、等价无穷小替换 小结思考题
、无穷小的比较 例如,当x→0时 2 2 , x,t,sin x,r sin 都是无穷小 lim -=0 x→03x x比3x要快得多; 观察各极限 SIn lim sinx与x大致相同 工工工 x→0x sin- )mx= lim sin:不存在.不可比 x→>0 0 极限不同,反映了趋向于零的“快慢”程度不 同 上页 圆
一、无穷小的比较 例如, x x x 3 lim 2 →0 x x x sin lim →0 2 2 0 1 sin lim x x x x→ . 1 0 , , ,sin , sin 当 时 2 2 都是无穷小 x x → x x x x 极限不同, 反映了趋向于零的“快慢”程度不 同. 3 ; x 2比 x要快得多 sin x与x大致相同; 不可比. = 0, = 1, x x 1 lim sin →0 = 不存在. 观 察 各 极 限 （ 型） 0 0
定义:设aB是同一过程中的两个无穷小,且α≠0 (1)如果limP=0,就说β是比a高阶的无穷小, 记作β=0(0x); 王(2)如果mn9=∞,就说B是比低阶的无小 c 工工工 (3)如果limP=C≠0,就说β与a是同阶的无穷小 特殊地,如果im=1,则称β与a是等价的无穷小 c 记作a~B 上页
记作 ； 如果 ，就说 是比 高阶的无穷小 ( ) (1) lim 0 , = = o 定义: 设,是同一过程中的两个无穷小,且 0. (3) 如果 lim = 0,就说 与 是同阶的无穷小; C ~ ; lim 1, ; = 记作 特殊地，如果 则称 与 是等价的无穷小 ２ 如果 = ，就说 是比 低阶的无穷小． ( ) lim
(4)如果lmP=C≠0,k>0就说β是a的k阶的 无穷小 王例如, 々十 =0, x→>03y 即x2=0(3x)(x→0) 当x→0时,x2是比3x高阶的无穷小; lim ix=1, x→>0y 即sinx~x(x→0) 当x→>0时,sinx与x是等价无穷小 上页
. (4) lim 0, 0, 无穷小 如果 k = C k 就说 是 的 k 阶的 0， 3 lim 2 0 = → x x x 1， sin lim 0 = → x x x 0 3 ; 当 x → 时，x 2 是比 x 高阶的无穷小 (3 ) ( 0). 即 x 2 = o x x → 当 x → 0时，sin x 与 x 是等价无穷小． 即sin x ~ x (x → 0). 例如
例1证明:当x→0时,tanx-sinx为x的三阶无穷小 tanr-sin x 解∵:lin x→>0 3 1 sin x 1-cos x lim( x→>0 cosr x 2 lin sinx 1-cosx 1 lim lim x+0 cosx x+0 xx+0 x2 2 tanx-sinx为x的三阶无穷小 上页
例 1 证明:当x → 0时,tan x − sin x为x的三阶无穷小. 解 3 0 tan sin lim xx x x − → ) sin 1 cos cos1 lim( 2 0 x x x x x x − = → , 21 = tan x − sin x为x的三阶无穷小.2 0 0 0 1 cos lim sin lim cos1 lim x x x x x x x x − = → → →