第七节函数的微分 问题的提出 微分的定义 四三、可微的条件 巴四、微分的几何意义 四五、微分的求法 微分形式的不变性 七、小结思考题 划回
一、问题的提出 实例:正方形金属薄片受热后面积的改变量 设边长由x变到x+△x, △x 正方形面积A=xn2 2 △A=(x0+△x) 0 A =2x0…·△x+(△x) 2) (1):Ax的线性函数且为△A的主要部分 (2):△r的高阶无穷小当△很小时可忽略 王页下
一、问题的提出 实例:正方形金属薄片受热后面积的改变量. 2 A = x0 x0 0 x , 设边长由x0变到x0 + x , 2 正方形面积 A = x0 2 0 2 0 A = (x + x) − x 2 ( ) . 2 = x0 x + x (1) (2) x的线性函数,且为A的主要部分; x的高阶无穷小,当x很小时可忽略. (1): (2): x x 2 (x) x x 0 x x 0
再例如,设函数y=x3在点x处的改变量 为△x时,求函数的改变量△y △y=(xo+△x)-x =3x2,△x+3xn·(△x)2+(△x)3 当△很小时,(2)是Ax的高阶无穷小o(Ax, ∴今y≈3x2·Ax.既容易计算又是较好的近似值 问题:这个线性函数(改变量的主要部分)是否 所有函数的改变量都有?它是什么?如何求? 王页下
再例如, , . 0 3 x y y x x = 为 时 求函数的改变量 设函数 在点 处的改变量 3 0 3 0 y = (x + x) − x 3 3 ( ) ( ) . 2 3 0 2 = x0 x + x x + x (1) (2) 当x很小时, 3 . 2 y x0 x (2)是x的高阶无穷小o(x), 既容易计算又是较好的近似值 问题:这个线性函数(改变量的主要部分)是否 所有函数的改变量都有?它是什么?如何求?
二、微分的定义 c定义设函数y=f(x)在某区间内有定义 王x及x+△在这区间内如果 4y=∫(x+△x)-f(x0)=A.△x+0(△x 牛成立其中是与△无关的常数则称函数 y=∫(x)在点x可微,并且称4Ax为函数 y=∫(x)在点x相应于自变量增量Ax的微分, 上记作小,或叭(),即小==4Ax 微分叫做函数增量y的线性主部(微分的实质)
二、微分的定义 定义 ( ), . ( ) , ( ) , ( ), ( ) ( ) ( ) , ( ) , 0 0 0 0 0 0 0 0 0 dy df x dy A x y f x x x y f x x A x A x y f x x f x A x o x x x x y f x x x x x = = = = + − = + + = 记 作 = 或 即 = 在 点 相应于自变量增量 的微分 在 点 可 微 并且称 为函数 成 立 其 中 是 与 无关的常数 则称函数 及 在这区间内 如 果 设函数 在某区间内有定义 微分dy叫做函数增量y的线性主部. (微分的实质)
由定义知: (1)是自变量的改变量Ax的线性函数 生(2)4-d—0△)是比△高阶无穷小 庄(3)当40时,与A是等价无穷小 △ =1+ 0(△x →>1(△x→>0) A·△x 王(44是与无关的常数但与(x)和有关 王(⑤)当A很小时,4y≈d(线性主部 上页
由定义知: (1) dy是自变量的改变量x的线性函数; (2) y − dy = o(x)是比x高阶无穷小; (3)当A 0时,dy与y是等价无穷小; dy y A x o x = + ( ) 1 → 1 (x → 0). (4) , ( ) ; A是与x无关的常数 但与f x 和x0有关 (5)当x很小时,y dy (线性主部)