第一节中值定理 巴一、罗尔定理 拉格朗日中值定理 巴三、柯西中值定理 四、小结思考题
、罗尔(Role)定理 罗尔(Ro|)定理如果函数f(x在闭区间|abL 上连续在开区间a,b)内可导且在区间端点的函数 王值相等,即f(a)=/(,那末在ab)内至少有一点 5a<5<b)使得函数f(x)在该点的导数等于零, 即f(2)=0 牛例如,f()=x2-2x=3=(x-3Xx+1 在_-1,3上连续,在(-1,3)上可导,且f(-1)=f(3)=0, f∫'(x)=2(x-1),取ξ=1,(1∈(-1,3)∫'(2)=0 上页
一、罗尔(Rolle)定理 罗尔（Rolle）定理 如果函数 f (x)在闭区间 [a,b] 上连续,在开区间(a,b)内可导,且在区间端点的函数 值相等，即 f (a) = f (b),那末在(a,b) 内至少有一点 (a b),使得函数 f (x)在该点的导数等于零， 即 ( ) 0 ' f = (1) (2) (3) 例如, ( ) 2 3 2 f x = x − x − = (x − 3)(x + 1). 在[−1,3]上连续, 在(−1,3)上可导, 且 f (−1) = f (3) = 0, f (x) = 2(x −1), 取 = 1, (1(−1,3)) f () = 0
几何解释: C f(x) 王在曲线弧4B上至少有一 王点C在该点处的切线是 水平的 ξ,bx 物理解释: 工工工 变速直线运动在 A折返点处瞬时速 度等于零 点击图片任意处播放暂停 上页
点击图片任意处播放\暂停 物理解释: 变速直线运动在 折返点处,瞬时速 度等于零. 几何解释: a 1 2 b x y o y = f (x) . , 水平的 点 在该点处的切线是 在曲线弧 上至少有一 C AB C
证∵∫(x)在[a,b连续,必有最大值M和最小值m (1)若M=m.则f(x)=M. 由此得∫(x)=0.ξ∈(n,b,都有f()=0 (2)若M ≠m ∵∫(an)=∫(b), ∴最值不可能同时在端点取得. 设M≠f(a)2 则在(ab)内至少存在一点5使f(4)=M. ∫(ξ+△x)≤∫(ξ),∴∫(ξ+△x)-f(2)≤0, 王页下
证 (1) 若 M = m. f (x) 在[a,b]连续, 必有最大值 M 和最小值 m. 则 f (x) = M. 由此得 f (x) = 0. (a,b), 都有 f () = 0. (2) 若 M m. f (a) = f (b), 最值不可能同时在端点取得. 设 M f (a), 则在 (a,b)内至少存在一点 使 f ( ) = M. f ( + x) f (), f ( + x) − f () 0
若△x>0,则有f(5+△x)-f(5)≤0 △x 若A<0,则有f(号+△x)-f(8z0; △y ∫()=lim ∫(ξ+△x)-f(ξ) ≥0 △ f"(ξ)=im ∫(号+△x)-∫(2 ≤0;∵f′(2)存在, △v→)+0 △v ∫(ξ)=∫(5).∴只有∫(2)=0. 上页
若 x 0, 0; ( ) ( ) + − x f x f 则有 若 x 0, 0; ( ) ( ) + − x f x f 则有 0; ( ) ( ) ( ) lim 0 + − = →− − x f x f f x 0; ( ) ( ) ( ) lim 0 + − = →+ + x f x f f x f ()存在, () = (). − + f f 只有 f () = 0