第三节泰勒( Taylor)公式 问题的提出 P和Rn的确定 泰勒中值定理 四、简单应用 五、小结思考题
王=、问题的提出 1.设f(x)在x处连续,则有 f(x)f(xo Lf(x)=f(xo+a] 牛2设f(x)在处可导则有 f(x)af(o)+f(xo(x-xo 1(x)=f(x)+f(x)(x-x)+0(x-xn) 牛例如当x很小时,c≈1+x,m01+x)=x (如下图) 上页 圆
一、问题的提出 1.设 f (x)在 0 x 处连续,则有 2.设 f (x)在 0 x 处可导,则有 例如, 当 x 很小时, e x x 1 + , ln(1 + x) x [ f (x) = f (x0 ) + ] [ ( ) ( ) ( )( ) ( )] 0 x0 x x0 o x x0 f x = f x + f − + − （如下图） ( ) ( ) 0 f x f x ( ) ( ) ( )( ) 0 x0 x x0 f x f x + f −
= 十 十 上
x y = e y = 1+ x o x y = e o y = x y = ln(1 + x)
不足:1、精确度不高;2、误差不能估计. 问题:寻找函数P(x),使得∫(x)≈P(x) 误差R(x)=f(x)-P(x)可估计 设函数(在含有8的开区4)内具有直到 (n+1)阶导数,P(x)为多项式函数 Pn(x)=a+a1(x-x)+a2(x-x0)+…+an(x-x0) 王误差R(x)=f(x)-P() 上页
不足: 问题: 寻找函数P(x),使得 f (x) P(x) 误差 R(x) = f (x) − P(x) 可估计 1、精确度不高； 2、误差不能估计. 设函数 f ( x)在含有x0的开区间(a,b) 内具有直到 (n + 1)阶导数,P(x)为多项式函数 n Pn (x) a a (x x ) a (x x ) an (x x )0 2 = 0 + 1 − 0 + 2 − 0 ++ − 误差 R (x) f (x) P (x) n = − n
庄三、P和R的确定 分析: 1若在x0点相交 J 近 似P(x1)=f(xn) y=f(r) 程 度‖2.若有相同的切线 来 P(xo)=f(ro) 好 3若弯曲方向相同 Px)=f"(x)0 x 0 上页
二、Pn和Rn的确定 x0 y = f (x) o x y 分析: ( ) ( ) 0 x0 P x f n = ( ) ( ) 0 x0 P x f n = ( ) ( ) 0 x0 P x f n = 2.若有相同的切线 3.若弯曲方向相同 近 似 程 度 越 来 越 好 1.若在 x0 点相交