第三节偏导数与全微分主要内容：一、偏导数及其运算二、全微分
第三节 偏导数与全微分 主要内容： 一、偏导数及其运算 二、全微分
偏导数及其运算某种品牌的电视机营销人员在开拓市场时引例：除关心本品牌电视机的价格取向外，更关心其他牌同类型电视机的价格情况，以决定自已的营销策略.即该品牌电视机的销量O.是它的价格P和其他电视机的销量增减品牌电视机价格PB的函数与两种价格的升降QA = f(PA,PB)都有关系通过分析Q.关于P（以及P）的变化率，来研究该函数交叉弹性
某种品牌的电视机营销人员在开拓市场时, 除关心本品牌电视机的价格取向外,更关心其他品 牌同类型电视机的价格情况,以决定自己的营销策 略.即该品牌电视机的销量QA是它的价格PA和其他 品牌电视机价格PB的函数. 一、偏导数及其运算 引例: ( , ) Q f P P A A B = 通过分析 关于 （以及 ）的变化率，来研究该函数. Q P P A A B 交叉弹性 电视机的销量增减 与两种价格的升降 都有关系
偏导数的定义定义设函数z= f(x,y)在点(xo,y)的某一邻域内有定义,当把y固定在y,而x在x,处有增量△x时，相应地函数有增量Arz = f(x +Ax, Jo)- f(xo, yo),如果A.zf(x, + Ar, yo) - f(xo,yo)limJimAxAx:Ar-→0Ar-→0存在，贝则称此极限为函数z=f(x,)在点(xo,yo)处对x的偏函数对x的偏导数导数，记为afOz.x=x 或f'(xo,yo) .axaxx=xoX=X0y=yoy=yo【pa:fal]
设函数 在点 的某一邻域内有定义， 当把 固定在 而 在 处有增量 时，相应地函数有增量 如果 存在，则称此极 定 限为函数 在点 处对 的偏 导数，记为 ， ， 义 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ( , ) ( , ) , ( , ) ( , ), ( , ) ( , ) lim lim ( , ) ( , ) x x x x x x x x x x y y y y z f x y x y y y x x x z f x x y f x y z f x x y f x y x x z f x y x y x z f z x x → → = = = = = = + − + − = = 0 或 0 0 0 x ( , ) . x y y = f x y = 偏导数的定义 0 y 0 y 函数对x的偏导数
类似的，函数z= f(x,y)在点(xo,yo)处关于y的偏导数为f(xo, Jo + Ay)- f(xo,yo)limAyAy-→0afaz记为或f,(xo,o) .ayayx=XoX=xoy=yoy=yo偏导数的实质是一元函数的导数注意az[(xo.o) =f'(x, yo)X=Xaxaz[(0,) = f'(xo, J)一y=yoay
0 0 0 ( , ) 0 ( , ) x y y y z f x y y = = 0 0 0 ( , ) 0 ( , ) x y x x z f x y x = = 注意 偏导数的实质是 一元函数的导数 类似 的，函 数 在 点 处 关 于 的 偏 导 数 为 记 为 ， 或 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) lim ( , ) . y y x x x x y y y y z f x y x y f y y f y y z f f x y y y x x y → = = = == + −
如果函数z= f(x,y)在定义域内每一点(x,J)处对x(或>)的偏导数都存在，那么这个偏导数就是x、y的函数，称其为函数z=f(x,y)对自变量x(或y)的偏导函数，记作Ozaz afaff'(x,y)(或f'(x,y)) :ax'axayy也简称偏导数
如果函数 在定义域内每一点 处对 或 的偏导数都存在，那么这个偏导数就 是 、 的函数，称其为函数 对自变量 或 的偏导函数，记作 ， ， 或 ( , ) ( , ) ( ) ( , ) ( ) ( , )( , , ( , )) . x y z f x y x y x y x y z f x y x y z f z f f x y f x y x x y y = = 也简称偏导数