《大学文科数学》课程PPT教学课件（微积分）第十章 一元微积分的推广（二元微积分概要）10-3 偏导数与全微分

有关偏导数的几点说明：Qu1.偏导数是一个整体记号，不能拆分；ax2.求偏导数时，均可用求导数的法则和公式只需将另外的变量看成常数即可af把暂时看作常量，而对x求导数axaf把暂时看作常量，而对求导数ay

偏导数 x u   是一个整体记号，不能拆分; 有关偏导数的几点说明： 1. 2. 求偏导数时，均可用求导数的法则和公式， 只需将另外的变量看成常数即可. x f   把y x 暂时看作常量,而对 求导数 y f   把x y 暂时看作常量,而对 求导数 x x y y

例1求函数z=x2sin2y的偏导数提示与分析：分别将x，v暂时看作常数，用一元函数求导法则，求偏导数将看作常数aOz(x) = 2x sin 2y,(sin2y解axax将幂作常数aza= x2.2cos2y= 2x2 cos2ysin2 VXayay水于正弦函数求导

例 求函数 的偏导数. 2 1 sin2 z x y = 提示与分析: 分别将x,y暂时看作常数，用一元函数 求导法则，求偏导数. 解 z x   将y看作常 数 2 ( sin 2 ) x y x  =  = 2 sin 2 , x y 幂函 数的 求导 z y   2 ( sin 2 ) x y y  =  2 =  x y 2cos 2 正弦 函数 求导 2 = 2 cos2 . x y 将x看作常数 sin 2 y 2 = ( ) x 

azOz例2已知z= x sin(x+y),求ax'ay将看作常数az解sin(x + y)rs乘积的求导法则axax= sin(x+ y)+xcos(x + y)将x看作常数aazsin(x+ Dl = xcos(x + y)rsayay正弦函数求导

例2 sin( ), , . 已知 求 z z z x x y x y   = +   解 zx 将y看作常 数 [ sin( )] x x y x = +  = + + + sin( ) cos( ), x y x x y 乘积的求导法则 zy [ sin( )] x x y y = +  = + x x y cos( ). 正弦 函数 求导 将 x看作常数

xy,(x, y)±(0, 0),22求函数 f(x,J)= x2+ y例30,(x, y) = (0,0),在点(0,0)处的偏导数提示与分析：用定义求分段函数在一点处的偏导数f(0 + △x, 0) - f(0,0)解 fi(0,0)= limArAr-→>0Xo = 0, Jo= 0Ax.0-00-0(△x) + 0= lim=0.= limAxAr-→0Ar-→0Ax

， 例 求函数 ， 在点 处的偏导数 2 2 ,( , ) (0,0) 3 ( , ) 0, ( , ) (0,0) (0,0) . xy x y f x y x y x y    =  +   = 提示与分析: 用定义求分段函数在一点处的偏导数. 解 (0,0) x f  0 (0 ,0) (0,0) lim x f x f  → x +  − =  2 0 0 0 ( ) 0 lim x x x  → x   −  + =  0 0 0 lim  →x x − =  0 0 x y = = 0, 0 = 0