《大学文科数学》课程PPT教学课件（微积分）第十章 一元微积分的推广（二元微积分概要）10-4 复合函数微分法

第四节复合函数微分法主要内容：一、复合函数链式法则二、全导数公式三、幂指函数求导数

第四节 复合函数微分法 主要内容： 一、复合函数链式法则 二、全导数公式 三、幂指函数求导数

复合函数链式法则二元复合函数的定义设z=f(u,v)是u,v的二元函数，u,v又都是x,J的二元函数：u = u(x, y),v=v(x, y).那么，通过中间变量u、，z就成为x，的二元复合函数，即z= f(u,v) = f(p(x, y),y(x,y)X函数结构图：Z

二元复合函数的定义 u v x z y 函数结构图： 一、复合函数链式法则 设 是 的二元函数， 又都是 的二元函数： 那么，通过中间变量 、 ， 就成为 的二元复 合函数，即 ( , ) , , , ( , ), ( , ). , ( , ) ( ( , ), ( , )) z f u v u v u v x y u u x y v v x y u v z x y z f u v f x y x y   = = = = =

链式法则u,v是中间变量定理如果函数z= f(u,v)在点(u,v)可微，而中间变量u=(x,y),v=y(x,y)在点(x,J)可微，那么复合函数z= f[p(x,J),y(x,y)]关于x,j的偏导数存在，且有链式法则Xy是自变量OzOzQuOz Ov+axOv axQu axazOz.Oz OvQuayQuOv ayay

如果函数 在点 可微，而中 间变量 在点 可微，那 么复合函数 关于 的偏导 数存在，且有链式 定 法则 理 ( , ) ( , ) ( , ), ( , ) ( , ) [ ( , ), ( , )] , , . z u v x y x y f u v x y z f x y z z u v u v u v u v u v x y x y x x z x y y z z y z     = = = =      = +              = +      链式法则 u,v是中间变量 x,y是自变量

链式法则如图示中间变量自变量函数uX7OzOzQuzav将x改成yayaydyOvdu

u v x z y 链式法则如图示 =   x z    u z x u      + v z , x v   =   y z y u   v y   将x改成y 函数 中间 变量 自变量

(2x-y)例1的偏导数.求函数z=x-2y1提示与分析：方法一：将复合函数拆分，代入链式法则1解 设u=2x-y=x-2y,川az.azQuQz.Ov2u .2+u2.(-1)axduaxOvaxV?4uu(4v-u)二LVu=2x-y,V=x-21(2x - y)(2x -7 y)(x-2y)2

例 求函数 的偏导数. 2 (2 ) 1 2 x y z x y − = − 提示与分析: 方法一：将复合函数拆分，代入链式法则. 解 设u x y v x y = − = − 2 , 2 , 则 2 . u z v = z u v x x x z z u v          = +    1 2u v =  2 2 2 1 u ( 1) v +  − 1 2 2 4u u v v = − u x y v x y = − = − 2 , 2 2 u v u (4 ) v − = 2 (2 )(2 7 ) . ( 2 ) x y x y x y − − = − u v x z y