第二节特殊类型微分方程的解法一初等积分法主要内容：一、分离变量法二、可化为变量分离方程的方程三、一阶线性微分方程
主要内容: 一、分离变量法 二、可化为变量分离方程的方程 三、一阶线性微分方程 第二节 特殊类型微分方程的解法 初等积分法
dyf()dxX齐次微分方程变量代换dyp(x)y= 0= h(x)g(y)变量分离+dx阶线性齐次方程I变量分离方程常数变易业p(x)y=q(x)十一阶线性非齐次方程
d d ( ) y y f x x = 齐次微分方程 d d ( ) 0 y p x y x + = 一阶线性齐次方程 d d ( ) ( ) y p x y q x x + = 一阶线性非齐次方程 变量代换 变量分离 常数变易 ( ) ( ) d d f x g y x y = d d ( ) ( ) y h x g y x = 变量分离方程
一、分离变量法dy形如h(x)g(y)的方程称为变量可分离方程dx方程右端是只含x的函数与只含v的函数的乘积。解法设函数g(y)和h(x)是连续的，且g(y)≠0,dy= h(x)dx,方程两端同时积分g(y)dyh(x)dx, G(y)= H(x)+C.g(y)将一个方程化为变量可分离方程并求出其通解的过程，称为分离变量法
一、分离变量法 形如： dy = 的方程称为变量可分离方程. 方程右端是只含x的函数与只含y的函数的乘积. h x( ) g y( ) 解法 d ( ) , d ( ) y h x x g y = 方程两端同时积分 d ( ) , d ( ) y h x x g y = G y H x C ( ) ( ) . = + 将一个方程化为变量可分离方程并求出其 通解的过程，称为分离变量法. dx d d ( ) ( ) y h x g y x = 设函数g y h x g y ( ) ( ) ( ) 0, 和 是连续的，且
典型例题dy业=2xy的通解例1求微分方程dx提示与分析：将微分方程变量分离，两边积分y-2xy的通解dy解= 2xy,Udxdj2xdx,兴司6010In y|= x2 + C1J=±e+*+Gi-·e，.通解为y=CeC
例1 求微分方程 d 的通解 d 2 . y xy x = 解 分离变量 dy 2 , x xd 两端积分 y = 2 1 ln , y x C = + e e 2 1 , C x = 典型例题 e 2 1 x C y + = 提示与分析: 将微分方程变量分离，两边积分. d 2 , y = x 反解y C 通解为 e 2 . x =y C C = 2 C = 1 C = −1 C = −2 dx y d d 2 , y xy x =
dyx例2dx求初值问题2y(0) = 1.提示与分析：将微分方程变量分离，两边积分求出通解，再代入初值条件确定特解dyx解dx0.5ydy = -xdx.?-0.5222+C卜2215150.5又y(0) = 1, :. C = 1,通解为x2+y2=C,综上，初值问题的特解为x2+y2=1
例2 d 求初值问题 d , (0) 1. y x x y y = − = 提示与分析: 将微分方程变量分离，两边积 分求出通解，再代入初值条件确定特解. 解 分离变量 y y x x d d = − , 两端积分 2 2 1 1 1 , 2 2 y x C = − + 2 2 1 + = x y C2 d d , y x x y = − C 通解为 2 2 + = x y C. 2 2 2 通解为0 1 又y(0) 1, = 2 2 + = x y C, = C 1, 综上，初值问题的特解为 2 2 x y + = 1. C = 0.5 C = 2 C = 1