第五节二元函数的极值主要内容：一、问题的提出二、二元函数的极值三、二元函数最值应用
第五节 二元函数的极值 主要内容： 一、问题的提出 二、二元函数的极值 三、二元函数最值应用
一、问题的提出实例：某养殖场饲养两种鱼,若甲种鱼放养x(万尾)乙种鱼放养v万尾)，收获时两种鱼的收获量分别为 (3-αx-βy)x, (4-βx-2αy)y,(α>β>0)问：如何放养使得产鱼总量最大两种鱼的产鱼总量函数为：f(x,y) =(3-αx-βy)x+(4-βx-2αy)y,即求总量函数（二元函数）的最大值
一、问题的提出 某养殖场饲养两种鱼 若甲种鱼放养 万尾 ， 乙种鱼放养 万尾 ，收获时两种鱼的收获量分别 为 问：如何放养使得产鱼总量最大 实例 , ( ) ( ) (3 ) , (4 2 ) , ( 0), . : x y − − − − x y x x y y 两种鱼的产鱼总量函数为: f (x, y) = (3 ) (4 2 ) , − − + − − x y x x y y 即求总量函数（二元函数）的最大值
二、多元函数的极值观察二元函数 z=(x2-2x)e-2-j-的图形(峰)木极大值点0.50-0.50-1223（谷）木极小值点
二、多元函数的极值 2 2 2 ( 2 ) x y xy z x x − − − 观察二元函数 = − e 的图形 （峰）极大值点 （谷）极小值点
二元函数极值的定义设函数z= f(x,y)在点(xo,y)的某邻域内有定义，如果对于该邻域内异于(xo,J)的点(x,J),恒有f(x, y)≤ f(xo, yo)(或f(x, y) ≥ f(xo,o)则称函数在(x,yo)有极大值（或极小值）.极大值、极小值统称为极值.使函数取得极值的点称为极值点
二元函数极值的定义 极大值、极小值统称为极值.使函数取得极值 的点称为极值点. 设函数 在点 的某邻域内 有定义，如果对于该邻域内异于 的 点 恒有 或 则称函数在 有极大值（或极小值） 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ), ( , ) ( , )( ( , ) ( , )), ( , ) . z f x y x y x y x y f x y f x y f x y f x y x y =
例1函数 z=3x2+4y在（0,0）处有极小值提示与分析：画出图形便可得到结论S该函数表示解3.53的曲面为椭圆抛2.52物面.1.510.500.50.500-0.5-0.5-1（谷）极小值点
例1 函数 z x y = + 3 4 (0,0) 2 2在 处有极小值． （谷）极小值点 提示与分析: 画出图形便可得到结论. 解 该函数表示 的曲面为椭圆抛 物面