《微积分（第3版）》（主编吴传生）么小)，总存在正数S，使得对于满足不等式0<x-xo<的所有x，对应的函数值f(x)都满足不等式|f(x)-A<8，则常数 A称为函数 f(x)当→x。时的极限，记作lim f(x)= A.注：lim()=A>0,38>0,当0x-xo<时,有F(x)-A<举例2-32.单侧极限（左、右极限）左极限：f(x)=lim(x)=AV>0,38>0,当x-<x<x时，有If(x)-A|<8.右极限：f(x)=limf(x)=A>0,3>0,当x<x<x+时，有IF(x)-A<8.由定义可见，lim f(x)=Af(x。)=f(x。)=A举例2-6三、函数极限的性质定理1（函数极限的唯一性）如果limf(x)存在，则极限是唯一的。定理2（函数极限的局部有界性）如果limf(x)=A，则存在常数M>0和8>0，使得当0<x-xo<8时，有|f(x)≤M。定理3（函数极限的局部保号性）如果limf(x)=A，且A>0（或A<0），则存在常数>0，使得当0<x-xo<时，有f(x)>0（或f(x)<0）。推论1如果limf(x)=A0，那么一定存在点x。的去心邻域U(xo,)，使得当xei(%,0)时,， 必有[(a)>.2推论2如果在点x。的某一去心邻域内有 f(x)≥0(或f(x)≤0),且 lim f(x)=A,那么必有A≥0（或A≤0）定理4（函数极限与数列极限的关系）如果极限存在，(x,)为函数f(x)的定义域内20
《微积分（第 3 版）》（主编 吴传生） 20 么小），总存在正数 ，使得对于满足不等式 0 xx 0 的所有 x ，对应的函数值 xf )( 都满 足不等式 )( Axf ， 则常数 A 称为函 数 xf )( 当 0 xx 时的极 限，记 作 Axf xx )(lim 0 ． 注： 0 lim ( ) 0, 0, x x f x A 当 0 xx 0 时，有 )( Axf ． 举例 2-3 2 . 单侧极限（左、右极限） 左极限： 0 0 ( ) lim ( ) 0, 0, x x f x f x A 当 0 0 x x x 时，有 )( Axf ． 右极限： 0 0 ( ) lim ( ) 0, 0, x x f x f x A 当 0 0 x x x 时，有 )( Axf ． 由定义可见， AxfxfAxf xx 0 0 )()()(lim 0 举例 2-6 三、函数极限的性质 定理 1（函数极限的唯一性）如果 lim )( 0 xf xx 存在，则极限是唯一的。 定理 2 （函数极限的局部有界性）如果 Axf xx )(lim 0 ，则存在常数 M 0 和 0， 使得当 0 0 x x 时，有 f x M ( ) 。 定理 3 （函数极限的局部保号性）如果 Axf xx )(lim 0 ，且 A 0 （或 A 0 ），则 存在常数 0 ，使得当 0 0 x x 时，有 f x( ) 0 （或 f x( ) 0 ）。 推论 1 如果 0)(lim 0 Axf xx ，那么一定存在点 0 x 的去心邻域 0 U x( , ) ，使得当 0 x U x ( , ) 时，必有 2 )( A xf ． 推论 2 如果在点 0 x 的某一去心邻域内有 xf 0)( （或 xf 0)( ），且 Axf xx )(lim 0 ， 那么必有 A 0 （或 A 0 ）． 定理 4（函数极限与数列极限的关系）如果极限存在， { }n x 为函数 f x( ) 的定义域内
《微积分（第3版）》（主编吴传生）任一收敛于x的数列,且x,±xo，则数列((x,))必收敛,且limf(x,)=lim f(x）.→X讨论、思考：1.观察函数f(x)=arctanx，问limf(x)是否存在？元（答limf(x)=limarctanx不存在。r)= lim arctanx =2→1-x=，: lim f(x)=lim arctanx不存在。)lim f(x)= lim arctanx =2[x+ax≤]2. 观察函数 f(x)=，问limf(x)是否存在？>x-1=limlim f(x)=lim(x+a)=1+a , lim f(x)=lim-（解1-xx+1-21时，极限(a)存在，且m(x)=当a=2当a≠-=时，极限limf(x)不存在。）2作业：（课本）习题2-2(1,4,6)参考资料（含参考书、文献等）：《微积分》（第三版），吴传生编，高等教育出版社教学过程设计：复习5分钟，授新课80分钟，安排讨论4分钟，布置作业1分钟授课类型：理论课讨论课实验课练习课其他讨论指导其他教学方式：V讲授模型实物挂图音像其他教学资源：V多媒体21
《微积分（第 3 版）》（主编 吴传生） 21 任一收敛于 0 x 的数列，且 n 0 x x ，则数列 { ( )} n f x 必收敛，且 0 lim ( ) lim ( ) n n x x f x f x ． 讨论、思考： 1. 观察函数 f x x ( ) arctan ，问 lim ( ) x f x 是否存在？ （答 lim ( )= lim arctan x x f x x 不存在。 lim ( ) lim arctan x x 2 f x x ， lim ( ) lim arctan x x 2 f x x ， lim ( )= lim arctan x x f x x 不存在。） 2. 观察函数 1 1 1 1 2 x ax x xf x x ，问 xf x 1 lim 是否存在？ （解 1 1 lim ( ) lim( ) 1 x x f x x a a ， 2 1 1 1 1 1 1 lim ( ) lim lim x x 1 1 2 x x f x x x 。 当 1 2 a 时，极限 xf x 1 lim 存在，且 1 1 lim ( ) x 2 f x ； 当 1 2 a 时，极限 xf x 1 lim 不存在。） 作业： （课本）习题 2-2(1, 4, 6) 参考资料（含参考书、文献等）： 《微积分》(第三版)，吴传生编，高等教育出版社 教学过程设计：复习 5 分钟，授新课 80 分钟，安排讨论 4 分钟，布置作业 1 分钟 授课类型：√理论课 讨论课 实验课 练习课 其他 教学方式：√讲授 讨论 指导 其他 教学资源：√多媒体 模型 实物 挂图 音像 其他
《微积分（第3版）》（主编吴传生）第周授课时间星期第节课时安排2授课题目(教学章、节或主题)：第二章极限和连续第三节无穷小与无穷大第四节极限的运算法则教学目的、要求（分掌握、理解、了解三个层次）：理解无穷小量的概念，掌握无穷小量的性质。1.2.理解无穷大量的概念：掌握无穷小量与无穷大量的关系。3.理解函数极限与无穷小量的关系，熟练掌握极限运算法则。4.培养学生能够运用极限思想分析实际问题。5.训练学生掌握“用极限概念”分析问题和解决问题的数学思想。教学内容（包括基本内容、重点、难点）：重点：无穷小量；极限运算法则。难点：极限四则运算法则的使用、复合函数极限的运算性质。主要内容复习：函数极限的定义新授：第三节无穷小量与无穷大量一、无穷小量1.无穷小量的定义定义1若limf(x)=0（或limf(x)=0），则称函数f(x)当x→x（或x→0）时的无穷小量。注：（1）无穷小量是一个变量（函数），无论绝对值多么小的数都不是无穷小量，但"0"是唯一可作为无穷小量的数。（2）无穷小量是相对自变量的某一变化过程而言的。（3）无穷小量的精确定义如果>0，>0（或>0），使得当0x-（或>）时，f(x)<恒成立，则称函数f(x)当x→x（或x→0）时为无穷小量，简称为无穷小，记为limf(x)=0（或limf(x)=0）。→X22
《微积分（第 3 版）》（主编 吴传生） 22 授课时间 第 周 星期 第 节 课时安排 2 授课题目(教学章、节或主题)：第二章 极限和连续 第三节 无穷小与无穷大 第四节 极限的运算法则 教学目的、要求（分掌握、理解、了解三个层次）： 1. 理解无穷小量的概念，掌握无穷小量的性质。 2. 理解无穷大量的概念；掌握无穷小量与无穷大量的关系。 3. 理解函数极限与无穷小量的关系，熟练掌握极限运算法则。 4. 培养学生能够运用极限思想分析实际问题。 5. 训练学生掌握“用极限概念”分析问题和解决问题的数学思想。 教学内容（包括基本内容、重点、难点）： 重点：无穷小量；极限运算法则 。 难点：极限四则运算法则的使用、复合函数极限的运算性质。 主要内容 复习: 函数极限的定义 新授: 第三节 无穷小量与无穷大量 一、无穷小量 1. 无穷小量的定义 定义 1 若 0 lim ( ) 0 x x f x （或 lim ( ) 0 x f x ），则称函数 xf )( 当 0 xx （或 x ） 时的无穷小量。 注：(1) 无穷小量是一个变量（函数），无论绝对值多么小的数都不是无穷小量，但 "0" 是唯一可作为无穷小量的数。 （2）无穷小量是相对自变量的某一变化过程而言的。 （3）无穷小量的精确定义 如果 0 ， 0 （或 X 0 ），使得当 0 0 x x （或 x X ）时， f x( ) 恒成立，则称函数 xf )( 当 0 xx （或 x ）时为无穷小量，简称为无穷小， 记为 0 lim ( ) 0 x x f x （或 lim ( ) 0 x f x ）
《微积分（第3版）》（主编吴传生）（4）无穷小量与函数极限的关系定理1 lim (x)=A 的充分必要条件是 f(x)=A+α(x)，其中limα(x)=0。2.无穷小量的运算定理定理2（1）有限个无穷小量的和是无穷小：（2）有界函数与无穷小量的乘积是无穷小。推论：（1）常数与无穷小量的乘积是无穷小；（2）有限个无穷小量的乘积是无穷小。二、无穷大量定义2如果对于任意给定的正数M>0（不论它多么大），总存在正数8>0（或正数X），当0<x-x<8（或x>X）时，有f(x)>M，那么称函数f(x)为当x→x（或x→o）时的无穷大量，简称为无穷大。记作lim f(x)=00 (或lim f(x)=00)。注：（1）无穷大是一个变量（函数），无论绝对值多么大的数都不是无穷大。(2）limf(x)=o0，按照极限定义，函数f(x)当x→x时的极限是不存在的，但为了方便叙述函数的绝对值无限变大这一性态，我们也说当x一x。时f(x)的极限为无穷大。对x→的情形可类似定义。(3）在无穷大的定义中，将f(x)>M改为f(x)>M，记为lim f(x)=+oo，称函数f(x)当x→x时为正无穷大；将f(x)>M改为f(x)<-M，记为limf(x)=-o0，称函数f(x)当x→xo时为负无穷大。(4)如果lim f(x)=0，则f(x)在x的邻域内无界；但反之，如果f(x)在x的邻域内无界，则f(x）当x一→x时不一定是无穷大．（无穷大量一定是无界的量，反之无界的量不一定为无穷大量）（5）无穷小和无穷大的关系1为无穷小；反定理3在自变量的同一变化过程中，如果f(x）为无穷大，f(x)之，如果f(x)为无穷小，且f(x)≠0，则为无穷大，f(x)23
《微积分（第 3 版）》（主编 吴传生） 23 （4）无穷小量与函数极限的关系 定理1 0 lim ( ) x x f x A 的充分必要条件是 f x A x ( ) ( ) ，其中 0 lim ( ) 0 x x x 。 2. 无穷小量的运算定理 定理2 （1）有限个无穷小量的和是无穷小； （2）有界函数与无穷小量的乘积是无穷小。 推论：（1）常数与无穷小量的乘积是无穷小； （2）有限个无穷小量的乘积是无穷小。 二、无穷大量 定义 2 如果对于任意给定的正数 M 0 (不论它多么大)，总存在正数 0 （或正数 X ）,当 0 xx 0 （或 Xx ）时，有 )( Mxf ，那么称函数 xf )( 为当 xx 0 (或 x )时的无穷大量,简称为无穷大。记作 )(lim 0 xf xx （或 xf )(lim x ）。 注：(1) 无穷大是一个变量（函数），无论绝对值多么大的数都不是无穷大。 （2） 0 lim ( ) x x f x ，按照极限定义，函数 xf )( 当 0 x x 时的极限是不存在的， 但为了方便叙述函数的绝对值无限变大这一性态，我们也说当 0 x x 时 xf )( 的极限为无 穷大。对 x 的情形可类似定义。 （3）在无穷大的定义中，将 f x M ( ) 改为 f x M ( ) ，记为 0 lim ( ) x x f x ， 称函 数 xf )( 当 0 x x 时为正无穷大；将 f x M ( ) 改 为 f x M ( ) ，记为 0 lim ( ) x x f x ，称函数 xf )( 当 0 x x 时为负无穷大。 （4）如果 0 lim ( ) x x f x ，则 xf )( 在 0 x 的邻域内无界；但反之，如果 xf )( 在 0 x 的 邻域内无界，则 xf )( 当 0 x x 时不一定是无穷大．（无穷大量一定是无界的量，反之无 界的量不一定为无穷大量） （5）无穷小和无穷大的关系 定理3 在自变量的同一变化过程中，如果 f x( ) 为无穷大，则 1 f x( ) 为无穷小；反 之，如果 f x( ) 为无穷小，且 f x( ) 0 ，则 1 f x( ) 为无穷大．
《微积分（第3版）》（主编吴传生）举例1第四节极限的运算法则1.函数极限的运算法则定理1若limf(x)=A，limg(x)=B，那么(1) lim[f(x)±g(x))=lim f(x)±lim g(x)= A±B;(2) lim[f(x)g(x)= lim f(x)lim g(x)= AB ;(3) lim_lim()_4(B ±0)。g(x)limg(x)B推论设limf(x)存在，C为常数，则lim[Cf(x)]=Climf(x);lim[f(x)" =[lim f(x)}" 。2.利用极限的运算法则求极限的方法举例举例1-8结论：(1)若f(x)=agx"+ax"- +..+a,是多项式，则limf(x)=f(x)P(为有理分式函数，其中 P(n),0(1)是多项式，于是(2）设F(x)=Q(x)lim P(x)=P(x), lim Q(x)=Q(x),如果(x)0,则 lim F(x)=F()。3.复合函数极限的运算性质定理2设y=f[p(x))是由函数y=f(u),u=p(x)复合而成，若limp(x)=a,lim f(u)=A,且在点x。的某去心邻域内,p(x)±a，则lim[p(x)=lim(u)=A。举例9讨论、思考：1.举例说明两个无穷小量的商是否一定为无穷小量？limx=0.lim2x=0，limx2=0，但（答不一定。例如，x->0x>0x->0212xlim之lim=lim==8。2X-0x2X-02xx→0 x24
《微积分（第 3 版）》（主编 吴传生） 24 举例 1 第四节 极限的运算法则 1. 函数极限的运算法则 定理 1 若 )(lim Axf ， )(lim Bxg ，那么 （1） ()(lim[ )] )(lim)(lim BAxgxfxgxf ； （2） ()(lim[ )] xgxfxgxf )(lim)(lim AB ； （3） )0( )(lim )(lim )( )( lim B B A xg xf xg xf 。 推论 设 lim ( ) f x 存在， C 为常数，则 lim ( ) lim ( ) Cf x C f x ； lim[ ( )] [lim ( )] n n f x f x 。 2. 利用极限的运算法则求极限的方法举例 举例 1-8 结论：（1）若 1 0 1 1 ( ) n n n n f x a x a x a x a 是多项式，则 0 0 lim ( ) ( ) x x f x f x 。 （ 2 ） 设 ( ) ( ) ( ) P x F x Q x 为 有 理 分 式 函 数 ， 其 中 P x Q x ( ), ( ) 是 多 项 式 ， 于 是 0 0 lim ( ) ( ) x x P x P x ， 0 0 lim ( ) ( ) x x Q x Q x ，如果 0 Q x( ) 0 ，则 0 0 lim ( ) ( ) x x F x F x 。 3. 复合函数极限的运算性质 定理 2 设 ([ xfy )} 是由函数 ufy )( , xu )( 复合而成，若 ax xx )(lim 0 ， Auf au )(lim ,且在点 0 x 的某去心邻域内, )( ax ，则 0 lim [ ( )] lim ( ) x x u a f x f u A 。 举例 9 讨论、思考： 1. 举例说明两个无穷小量的商是否一定为无穷小量？ （答 不一定。例如， 2 0 0 0 lim 0 , lim2 0 , lim 0 x x x x x x ，但 2 0 0 0 1 2 2 lim , lim lim x 2 2 x x x x x x x 。）