《微积分（第3版）》（主编吴传生）P(x) _?2.有理分式函数的极限limx Q(x)(答设 P(x)=aox" +a,x"-| +..+a,,Q(x)=b,x" +bxm-l +...+b.[会,当n=m,-.P(x)其中α.￥0,b0,m和n为非负整数，则1im当n<m,0,Q(x)x>0000,当n>mlim(2x-3)2x3-1 3.如下写法是否正确：lim-0O0x-1 x2-5x+4lim(x2-5x+4)x→1（答不正确。正确解法：lim(x2 5x + 4)0-5x+4x2-5x+4x->10...lim8):-x-32x-3lim(2x - 3)-1x-→1X-→1作业：（课本）习题2-3(3,4)习题2-4(2,3,4)参考资料（含参考书、文献等）：吴传生编，高等教育出版社《微积分》(第三版)，教学过程设计：复习5分钟，授新课90分钟，安排讨论4分钟，布置作业1分钟授课类型：V理论课讨论课实验课练习课其他讨论指导其他教学方式：V讲授模型实物挂图音像其他教学资源：V多媒体25
《微积分（第 3 版）》（主编 吴传生） 25 2. 有理分式函数的极限 ( ) lim ( ) x P x Q x ？ （答设 1 0 1 1 ( ) n n P x a x a x a x a n n ， 1 0 1 1 ( ) m m Q x b x b x b x b m m ， 其中 0 0 a b m n 0, 0, 和 为非负整数 ，则 0 0 , , ( ) lim = 0, , ( ) , a b x n m P x n m Q x n m 当 当 当 ） 3. 如下写法是否正确: 0 1 )45(lim )32(lim 45 32 lim 2 1 1 2 1 xx x xx x x x x （答 不正确。正确解法： 2 2 1 1 1 lim( 5 4) 5 4 0 lim =0 2 3 lim(2 3) 1 x x x x x x x x x ， 2 1 5 4 lim x 2 3 x x x ） 作业：（课本） 习题 2-3(3, 4) 习题 2-4(2, 3, 4) 参考资料（含参考书、文献等）： 《微积分 》(第三版)，吴传生编，高等教育出版社 教学过程设计：复习 5 分钟，授新课 90 分钟，安排讨论 4 分钟，布置作业 1 分钟 授课类型：√理论课 讨论课 实验课 练习课 其他 教学方式：√讲授 讨论 指导 其他 教学资源：√多媒体 模型 实物 挂图 音像 其他
《微积分（第3版）》（主编吴传生）授课时间第周周第节课时安排2授课题目(教学章、节或主题)：第二章极限与连续第五节极限存在准则及两个重要极限，连续复利教学目的、要求（分掌握、理解、了解三个层次）：理解极限存在的两个准则（夹逼准则与单调有界准则），会用极限两个准则求极限。1.msinx=1与lim(1+l)y=e，会利用重要极限公式求极限。2.掌握两个重要极限：lim0X3了解连续复利的相关概念。4.训练学生能够用极限概念分析问题和解决问题的数学思想。教学内容（包括基本内容、重点、难点）：重点：极限存在的两个准则、两个重要极限公式：利用两个重要极限公式求极限。难点：应用极限存在准则证明数列极限存在。主要内容复习：数列极限的定义新授：第五节极限存在准则及两个重要极限、连续复利一、极限存在准则准则1（夹逼准则）如果数列(）、（，和（，满足(1) y,≤x,≤z, (n=1,2,3,....);(2) limy,=limz, =a,20则数列(x)的极限存在，且limx，=a。准则1可以推广到函数的极限：准则 I' 如果函数 f(x),g(x),h(x)满足(1)当xU(xo,0)或(x>M)时，g(x)≤f(x)≤h(x)(2) lim g(x)=A, lim h(x)=A,(x→0)(x→0)那么limf(x)存在且等于A。(x→0)举例1-3准则2单调有界数列必有极限26
《微积分（第 3 版）》（主编 吴传生） 26 授课时间 第 周 周 第 节 课时安排 2 授课题目(教学章、节或主题)： 第二章 极限与连续 第五节 极限存在准则及两个重要极限，连续复利 教学目的、要求（分掌握、理解、了解三个层次）： 1. 理解极限存在的两个准则（夹逼准则与单调有界准则），会用极限两个准则求极限。 2. 掌握两个重要极限： 0 sin lim 1 x x x 与 1 lim(1 )x x e x ，会利用重要极限公式求极限。 3. 了解连续复利的相关概念。 4. 训练学生能够用极限概念分析问题和解决问题的数学思想。 教学内容（包括基本内容、重点、难点）： 重点： 极限存在的两个准则、两个重要极限公式；利用两个重要极限公式求极限。 难点： 应用极限存在准则证明数列极限存在。 主要内容 复习：数列极限的定义 新授： 第五节 极限存在准则及两个重要极限、连续复利 一、极限存在准则 准则 1（夹逼准则）如果数列 n x 、 n y 和 n z 满足 （1） nnn zxy n ),3,2,1( ； （2） lim lim n n n n y z a ， 则数列 n x 的极限存在，且 axn n lim 。 准则 1 可以推广到函数的极限： 准则 如果函数 f x g x h x ( ), ( ), ( ) 满足 （1）当 0 x U x ( , ) 或（ x M ）时， xhxfxg )()()( （2） 0 ( ) lim ( ) x x x g x A ， 0 ( ) lim ( ) x x x h x A ， 那么 0 ( ) lim ( ) x x x f x 存在且等于 A 。 举例 1-3 准则 2 单调有界数列必有极限
《微积分（第3版）》（主编吴传生）注：准则Ⅱ还可更明确的叙述为：单调增加上有界或单调减少下有界的数列必有极限举例2-3二、两个重要极限sinx② lim(1+-)* = e lim=1.x-→0xY>0x注意：掌握它们的其它形式和变形sino，其中当x→△时，有口0。(1) lim→4口1lim(1+n（2）公式②的其它形式lim(1+x）*=e，=enn1)°(3）lim/1+，其中当x→△时，有口XA口举例4-9三、连续复利设一笔贷款A。（称为本金），年利率为r，则一年后本利和A=A(1+r)两年后本利和A,=A(1+r)=A.(1+r)2如果一年分n期计息，年利率仍为r，则k年后本利和A=A(1+r)每期利率为二，于是一年后的本利和A=A(1+=)nk年后本利和4=4(1+)n如果计息期数n趋于正无穷，即每时每刻计算复利（称为连续复利），则k年后的本利和为A = lim A(1+=)* = lim A1-4nn-→onn-→= Abe'k讨论、思考：1.已知x=1,x+=1+2x（n=1,2,…，求limx时，下列作法是否正确？设limx，=a，由递推式两边取极限，得a=1+2a=a=-1。（答不对，此处limx，=00。）27
《微积分（第 3 版）》（主编 吴传生） 27 注：准则 II 还可更明确的叙述为：单调增加上有界或单调减少下有界的数列必有极限 举例 2- 3 二、两个重要极限 ① 1 sin lim 0 x x x 。 ② e x x x ) 1 lim 1( 。 注意：掌握它们的其它形式和变形. （1） sin lim 1 x ，其中 当 时，有 0 x 。 （2）公式②的其它形式 ex x x 1 0 )1(lim ， e n n n ) 1 lim 1( 。 （3） 1 lim 1+ =e x ，其中 当 时，有 x 。 举例 4-9 三、连续复利 设一笔贷款 A0 称为本金)( ，年利率为 r ,则 )1( 01 一年后本利和 rAA 2 12 0 两年后本利和 rArAA )1()1( 如果一年分 n期计息，年利率仍为 r ，则 k k k rAA )1( 年后本利和 0 每期利率为 ，于是一年后的本利和 n r n n r AA )1( 01 nk k n r k AA )1( 年后本利和 0 如果计息期数 n 趋于正无穷，即每时每刻计算复利（称为连续复利），则 k 年后的本利和为 rk rk r n n nk n k eA r n A n r AA 0 0 0 1 1lim)1(lim 讨论、思考： 1. 已知 1 1 1, 1 2 ( 1,2, ) n n x x x n ，求 lim n n x 时，下列作法是否正确？ 设 lim n n x a ，由递推式两边取极限，得 a a a 1 2 1。 （答 不对，此处 lim n n x 。）
《微积分（第3版）》（主编吴传生）2.设对任意的x总有(x)≤f(x)≤g(x)，且lim[g(x)-p(x))=0，试问极限limf(x)是否一定存在?（答不一定存在。11,显然p(x)≤f(x)≤g(x),例：取(x)=1- f(g)=1, g(n)=1+x且lim[g(x)-p(x))=0，此时limf(x)=1（存在）。1.1 ，则(x)≤f(x)≤g(x)，且取 (x)=)-, (n)=x, g()=+x-xlim[g(x)-p(x)]=0，但limf(x)=00（不存在）。）作业：（课本）习题2-5参考资料（含参考书、文献等）：《微积分》（第三版），吴传生编，高等教育出版社教学过程设计：复习5分钟，授新课80分钟，安排讨论4分钟，布置作业1分钟授课类型：√理论课讨论课实验课练习课其他指导其他教学方式：V讲授讨论模型实物挂图其他教学资源：V多媒体音像28
《微积分（第 3 版）》（主编 吴传生） 28 2. 设对任意的 x 总有 ( ) ( ) ( ) x f x g x ，且 lim[ ( ) ( )] 0 x g x x ，试问极限 lim ( ) x f x 是 否一定存在？ (答 不一定存在。 例：取 2 1 ( ) 1 x x ，f x( ) 1 ， 2 1 g x( ) 1 x ，显然 ( ) ( ) ( ) x f x g x ， 且 lim[ ( ) ( )] 0 x g x x ，此时 lim ( ) 1 x f x （存在）。 取 2 1 ( ) x x x ， f x x ( ) ， 2 1 g x x ( ) x ， 则 ( ) ( ) ( ) x f x g x ， 且 lim[ ( ) ( )] 0 x g x x ，但 lim ( ) x f x （不存在）。） 作业：（课本） 习题 2-5 参考资料（含参考书、文献等）： 《微积分》(第三版)，吴传生编，高等教育出版社 教学过程设计：复习 5 分钟，授新课 80 分钟，安排讨论 4 分钟，布置作业 1 分钟 授课类型：√理论课 讨论课 实验课 练习课 其他 教学方式：√讲授 讨论 指导 其他 教学资源：√多媒体 模型 实物 挂图 音像 其他
《微积分（第3版）》（主编吴传生）第周星期第节课时安排2授课时间授课题目(教学章、节或主题)：第二章极限与连续第六节无穷小的比较第七节函数的连续性（第一讲）教学目的、要求（分掌握、理解、了解三个层次）：1掌握无穷小量的比较方法，会用等价无穷小求极限。2理解函数在一点连续的概念、理解左、右连续的概念、理解函数在区间上连续的概念。3.培养学生能够运用极限思想分析实际问题4.训练学生掌握“用极限概念”分析问题和解决问题的数学思想教学内容（包括基本内容、重点、难点）：重点：无穷小量的比较，函数连续的概念。难点：等价无穷小的代换定理在求极限时的正确应用。主要内容复习：1.无穷小量的定义2x23xsinxxlim=1，1=3,lim=0, lim2.引例lim=8x→0+X→02x2xxX0-0新授：第六节无穷小量的比较一、两个无穷小量的比较的定义定义设α(x)β(x)为同一个自变量的变化过程中的无穷小，β(x)2=0，则称β(x)是比α(x)高阶的无穷小，记为β=0(α);（1）若lim4α(x)β(x)(2）若lim00，则称β(x）是比α(x）低阶的无穷小：α(x)β(x)(3）若lim=C±0，则称α(x)和β(x)是同阶无穷小；α(x)β(x)（4）若limC0，>0，则称β(x)是关于α(x)的阶无穷小；[α(x)]k29
《微积分（第 3 版）》（主编 吴传生） 29 授课时间 第 周 星期 第 节 课时安排 2 授课题目(教学章、节或主题)： 第二章 极限与连续 第六节 无穷小的比较 第七节 函数的连续性（第一讲） 教学目的、要求（分掌握、理解、了解三个层次）： 1. 掌握无穷小量的比较方法，会用等价无穷小求极限。 2. 理解函数在一点连续的概念、理解左、右连续的概念、理解函数在区间上连续的概念。 3. 培养学生能够运用极限思想分析实际问题. 4. 训练学生掌握“用极限概念”分析问题和解决问题的数学思想. 教学内容（包括基本内容、重点、难点）： 重点： 无穷小量的比较 ， 函数连续的概念。 难点： 等价无穷小的代换定理在求极限时的正确应用。 主要内容 复习： 1. 无穷小量的定义 2. 引例 1 sin lim 0 x x x ， 0 3 lim 3 x x x ， 2 0 2 lim 0 x x x ， 2 0 lim x 2 x x 。 新授： 第六节 无穷小量的比较 一、两个无穷小量的比较的定义 定义 设 、 xx )()( 为同一个自变量的变化过程中的无穷小， （1）若 0 )( )( lim x x ，则称 x)( 是比 x)( 高阶的无穷小，记为 o )( ； （2）若 ( ) lim ( ) x x ，则称 x)( 是比 x)( 低阶的无穷小； （3）若 ( ) lim 0 ( ) x C x ，则称 x)( 和 x)( 是同阶无穷小； （4）若 ( ) lim 0 [ ( )]k x C x ，k 0，则称 x)( 是关于 x)( 的 k 阶无穷小；