《微积分（第三版）》（主编：吴传生）第5次课的教学整体安排节授课时间第周周第课时安排2第一章函数授课题目(教学章、节或主题)：习题课教学目的、要求（分掌握、理解、了解三个层次）：1.理解函数的概念，掌握函数的表示方法，并会建立简单应用问题中的函数关系式。2.理解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性定义。3.理解复合函数、分段函数、反函数及隐函数的概念。4.掌握基本初等函数的性质及图形。教学内容（包括基本内容、重点、难点）：重点：函数的概念、性质，复合函数、分段函数、反函数及隐函数的概念，基本初等函数的性质及图形难点：隐函数的概念，基本初等函数的性质及图形主要内容一、基本内容小结1、函数的概念、表示法、函数的特性2、复合函数、分段函数、反函数、隐函数3、基本初等函数、初等函数二、典型例题讲解函数部分的重要题型：函数概念（对应法则及定义域）：（总习题一1，5）函数性态；（总习题一2，3，7，）复合函数。（总习题一：4，8，9，10）函数的建立。（总习题一12，13，14，15）讨论、思考：函数与映射的区别？作业：掌握本次课所讲题目与方法、总习题一，完成“回顾与预习”参考资料（含参考书、文献等）：《高等数学》（第六版），同济大学数学系编，高等教育出版社教学过程设计：复习80分钟，授新课0分钟，安排讨论9分钟，布置作业1分钟授课类型：V理论课讨论课实验课V练习课其他讨论指导其他教学方式：V讲授模型实物挂图教学资源：V多媒体音像其他15
《微积分（第三版）》（主编：吴传生） 15 第 5 次课的教学整体安排 授课时间 第 周 周 第 节 课时安排 2 授课题目(教学章、节或主题)： 第一章 函数 习题课 教学目的、要求（分掌握、理解、了解三个层次）： 1. 理解函数的概念，掌握函数的表示方法，并会建立简单应用问题中的函数关系式。 2. 理解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性定义。 3. 理解复合函数、分段函数、反函数及隐函数的概念。 4. 掌握基本初等函数的性质及图形。 教学内容（包括基本内容、重点、难点）： 重点：函数的概念、性质，复合函数、分段函数、反函数及隐函数的概念，基本初等函数的 性质及图形 难点：隐函数的概念，基本初等函数的性质及图形 主要内容 一、基本内容小结 1、函数的概念、表示法、函数的特性 2、复合函数、分段函数、反函数、隐函数 3、基本初等函数、初等函数 二、典型例题讲解 函数部分的重要题型： ●函数概念（对应法则及定义域）；（总习题一 1， 5） ●函数性态；（总习题一 2，3，7，） ●复合函数。（总习题一 4，8，9，10） ●函数的建立。（总习题一 12，13，14，15） 讨论、思考：函数与映射的区别？ 作业： 掌握本次课所讲题目与方法、总习题一，完成“回顾与预习”. 参考资料（含参考书、文献等）： 《高等数学》(第六版)，同济大学数学系编，高等教育出版社 教学过程设计：复习 80 分钟，授新课 0 分钟，安排讨论 9 分钟，布置作业 1 分钟 授课类型：√理论课 讨论课 实验课 √练习课 其他 教学方式：√讲授 讨论 指导 其他 教学资源：√多媒体 模型 实物 挂图 音像 其他
《微积分（第三版）》（主编：吴传生）2授课时间第周周第节课时安排授课题目（教学章、节或主题）：第二章极限和连续第一节数列的极限教学目的、要求（分掌握、理解、了解三个层次）：1.理解数列极限的概念；掌握收敛数列的性质；会用定义证明数列的极限2.培养学生能够运用极限思想分析实际问题；3.训练学生掌握“用极限概念”分析问题和解决问题的数学思想教学内容（包括基本内容、重点、难点）：重点：数列极限的概念、数列极限的性质难点：数列极限的概念的理解、收敛子列与数列的关系主要内容一、列极限的概念1.数列定义按照某种顺序排列起来的无穷多个实数x，x2，x，称为数列，记为数列(,)。注：(1)数列(x,)是特殊的函数，即x=f(n）（n=1,2,；(2）有界数列(x），即3M>0,使得x|≤M（n=1,2.；（3）单调数列：单增数列与单减数列的统称。单增数列(x,)，即x≤x+（n=1,2,；单减数列(,)，即x,≥x+（n=1,2,…2.数列极限的定义定义设有数列(，)，如果对于任意给定的正数（无论它多么小），总存在一个正整数N，使得当n>N时，不等式x，-α<ε恒成立，则称常数a为数列(,)的极限，或称数列(x,)收敛于α，记为limx=α或x，→a(n→c)如果数列(x,)没有极限，就说数列()是发散的。limx=as>0，正整数N，当n>时，有-α<8注：（1)limx=as>0，日正整数N，当n>N时，有x-α<8(2）极限是数列中数的变化总趋势，它与数列中某个项或前几个项的值无关。16
《微积分（第三版）》（主编：吴传生） 16 授课时间 第 周 周 第 节 课时安排 2 授课题目(教学章、节或主题)：第二章 极限和连续 第一节 数列的极限 教学目的、要求（分掌握、理解、了解三个层次）： 1 . 理解数列极限的概念；掌握收敛数列的性质；会用定义证明数列的极限； 2. 培养学生能够运用极限思想分析实际问题； 3. 训练学生掌握“用极限概念”分析问题和解决问题的数学思想. 教学内容（包括基本内容、重点、难点）： 重点：数列极限的概念、数列极限的性质 难点：数列极限的概念的理解、收敛子列与数列的关系 主要内容 一、列极限的概念 1. 数列定义 按照某种顺序排列起来的无穷多个实数 21 xxx n， ,称为数列，记为数列 n x 。 注：(1) 数列 n x 是特殊的函数，即 ( ) ( 1, 2, ) n x f n n ； （2）有界数列 n x ，即 0, ( 1,2, ) M x M n 使得 n ； （3）单调数列：单增数列与单减数列的统称。 单增数列 n x ，即 +1 ( 1,2, ) n n x x n ； 单减数列 n x ，即 +1 ( 1,2, ) n n x x n 。 2. 数列极限的定义 定义 设有数列 n x ，如果对于任意给定的正数 （无论它多么小），总存在一个正 整数 N ，使得当 Nn 时，不等式 ax n 恒成立，则称常数 a 为数列 n x 的极限，或 称数列 n x 收敛于 a ，记为 axn n lim 或 nax )( n ．如果数列 n x 没有极限，就说 数列 n x 是发散的。lim 0 n x x a ， 正整数 N，当 n N 时，有 ax n . 注：(1) lim 0 n x x a ， 正整数 N，当 n N 时，有 ax n (2) 极限是数列中数的变化总趋势，它与数列中某个项或前几个项的值无关
《微积分（第三版）》（主编：吴传生）二、数列极限的性质定理1（极限唯一性）任何收敛数列(x)的极限是唯一的。定理2（收敛数列的有界性）如果数列(，）收敛，那么数列(x，）一定有界。定理3（收敛数列的保号性）（补充）如果数列(x,)收敛a，且α>0（或α<0），那么存在正整数N，当n>N时，都有x>0（或x<0）。证明不妨就α>0的情形证明。由数列极限的定义，对ε=>0,3正整数N，当2a-">0n>N时，有|x,-α<,从而x,>a-222推论（补充）：如果数列(x,)从某项起有x≥0（或x,≤0），且limx=α，那么a≥0（或a≤0）。证明设数列(x,}从第N,项起，即n>N,时有x≥0。现在用反证法证明。若limx=a<0，则由定理3知，正整数Nz，当n>N,时有x,<0。取N=maxN,N)，当n>N时，按假设有x,≥0，按定理3有x<0，这引起矛盾。所以必有α≥0。数列从某项起x，≤0的情形，可以类似地证明。定理4（收敛数列与子数列的关系）设数列(,)收敛于α，则它的任一子数列x也收敛，且极限也是α。讨论、思考：1.对于某一正数80，如果存在正整数N，使得当n>N时，恒有x,-α<8成立，是否有 x>aα (n-→>)?3（答不一定，例如，取8，a=1,数列(x,=2)(n=1,2,…，显然x,-a<802(n=1,2.，但limx,a，事实上limx,=2。）2．定理2表明收敛数列(x)一定有界。试问发散的数列是否一定无界？有界的数列是否一定收敛？无界数列是否一定发散？（答发散的数列是不一定无界，有界的数列不一定收敛。例如：数列x,=(-1)"(n=1,2,是有界的发散数列。但是无界数列一定发散。否则设数列(x,)无界且收敛，将与定理2引起矛盾。）17
《微积分（第三版）》（主编：吴传生） 17 二、数列极限的性质 定理 1 （极限唯一性）任何收敛数列 n x 的极限是唯一的。 定理 2（收敛数列的有界性）如果数列 n x 收敛，那么数列 n x 一定有界。 定理 3（收敛数列的保号性）（补充）如果数列 }{ n x 收敛 a，且 a 0 (或 a 0 ) ，那 么存在正整数 N ，当 n N 时，都有 0 n x （或 0 n x ）。 证明 不妨就 a 0 的情形证明。由数列极限的定义，对 0, 2 a 正整数 N ，当 n N 时，有 2 n a x a ， 从而 0 2 2 n a a x a 推论（补充）：如果数列 }{ n x 从某项起有 0 n x （或 0 n x ），且 lim n n x a ，那么 a 0 （或 a 0 ）。 证明 设数列 }{ n x 从第 N1 项起，即 1 n N 时有 0 n x 。现在用反证法证明。若 lim 0 n n x a ，则由定理 3 知 ， 正整数 N2 ， 当 2 n N 时 有 0 n x 。 取 N N N max , 1 2 ，当 n N 时，按假设有 0 n x ，按定理 3 有 0 n x ，这引起矛盾。 所以必有 a 0 。数列从某项起 0 n x 的情形，可以类似地证明。 定理 4（收敛数列与子数列的关系）设数列 n x 收敛于 a ，则它的任一子数列 k n x 也 收敛，且极限也是 a 。 讨论、思考： 1. 对于某一正数 0 如果存在正整数 N 使得当 n N 时 恒有 n 0 x a 成立， 是 否有 xn a (n )？ （答 不一定，例如，取 0 3 2 ，a 1 ，数列 2 ( 1,2, ) n x n ，显然 n 0 x a ( 1, 2, ) n ，但 lim n n x a ，事实上 lim 2 n n x 。） 2. 定理 2 表明收敛数列{xn}一定有界。试问发散的数列是否一定无界？有界的数列是 否一定收敛？无界数列是否一定发散？ （ 答 发 散 的 数 列 是 不 一 定 无 界， 有 界 的 数 列 不 一 定 收 敛 。 例 如 ： 数 列 1 ( 1) ( 1,2, ) n n x n 是有界的发散数列。但是无界数列一定发散。否则设数列 n x 无界 且收敛，将与定理 2 引起矛盾。）
《微积分（第三版）》（主编：吴传生）3.limx,=alim×2k=limx2k-1=a，这一结论是否成立?（答成立。证明如下：证“=”已知limx=a，根据定理4（收敛数列与子数列的关系）知n-→0lim X2k = lim X2k-1 = a 。“《””=，>0,3正整数k,当>时，有x2k-1-<；又:=a，>0,3正整数当k>k时，有x-a<记k=maxki,k),取N=2k,则当n>N时，若n=2k-1，则k>K+>,-=k-1 a<8,若n=2，则>K≥k,=-a=-a<从而只要n>N，就有x，-a<s,即limx,=a。）4.limx=0limx=0，这一结论是否成立？（答这是一个常用的正确结论。证明如下：:：0>0,存在正整数N,当n>N时，恒有x-0即x-0成立α lim|x, = 0作业：（课本）习题2-1（1,3,7）参考资料（含参考书、文献等）：《微积分》（第三版)，吴传生编，高等教育出版社教学过程设计：复习0分钟，授新课85分钟，安排讨论4分钟，布置作业1分钟授课类型：V理论课讨论课实验课练习课其他指导其他教学方式：V讲授讨论模型教学资源：√多媒体实物挂图音像其他18
《微积分（第三版）》（主编：吴传生） 18 3. 2 2 1 lim lim lim n k k n k k x a x x a ，这一结论是否成立？ （答 成立。证明如下： 证 “ ”已知 lim n n x a ， 根 据 定 理 4 （ 收 敛 数 列 与 子 数 列 的 关 系 ） 知 2 2 1 lim lim k k k k x x a 。 “ ” 2 1 lim k k x a ， 1 1 2 1 0, , k k k k x a 正整数 当 时，有 ；又 2 lim k k x a ， 2 2 2 0, , k 正整数 当 时，有 k k k x a ； 记 max , , 2 , 1 2 k k k N k n N 取 则当 时 ， 若 n k 2 1 ，则 1 2 1 1 2 n k k K k x a x a ， 若 n k 2 ，则 2 2 n k k K k x a x a ， 从而只要 n n , lim n n N x a x a ，就有 即 。) 4. lim 0 lim 0 n n n n x x ，这一结论是否成立？ （答 这是一个常用的正确结论。证明如下： lim 0 0, , n n x N n N 存在正整数 当 时，恒有 0 0 n n x x 即 成立 lim 0 n n x 作业：（课本）习题 2-1（1, 3, 7） 参考资料（含参考书、文献等）： 《微积分》(第三版)，吴传生编，高等教育出版社 教学过程设计：复习 0 分钟，授新课 85 分钟，安排讨论 4 分钟，布置作业 1 分钟 授课类型：√理论课 讨论课 实验课 练习课 其他 教学方式：√讲授 讨论 指导 其他 教学资源：√多媒体 模型 实物 挂图 音像 其他
《微积分（第3版）》（主编吴传生）授课时间第 周星期第节课时安排2第二章极限和连续授课题目(教学章、节或主题)：第二节函数的极限教学目的、要求（分掌握、理解、了解三个层次）：1.理解函数极限的概念、左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关系；理解函数极限的性质。2.培养学生能够运用极限思想分析实际问题。3.训练学生掌握“用极限概念”分析问题和解决问题的数学思想。教学内容（包括基本内容、重点、难点）：重点：函数极限的概念，左极限与右极限的概念。难点：极限的局部保号性、函数极限与数列极限的关系。主要内容复习：数列极限的定义新授：第二节函数的极一、自变量趋于无穷大时函数的极限1.定义1设函数f(x)当μ>α时有定义，如果对于任意给定的正数（无论它有多么小），总存在一个正数X，使得对满足不等式μ>X的一切x，对应的函数值f(x)都满足[f(x)-A<6，则常数A称为函数f(x)当x→0时的极限，记作limf(x)=A。注：lim f(x)=A>0,X>0,当>X时,有f(x)-A。2.单侧极限limf(x)=A>0,X>0,当x>X时,有f(x)-A<8lim f(x)=A>0,X>0,当x<-X时,有|f(x)-A<由定义可见，极限limf(x)=A的充分必要条件是：limf(x)=lim(x)=A.举例1二、自变量趋于有限值时函数的极限1.定义2设函数f(x)在点x。的某一去心邻域内有定义，如果对于任意给定的正数（无论它多19
《微积分（第 3 版）》（主编 吴传生） 19 授课时间 第 周 星期 第 节 课时安排 2 授课题目(教学章、节或主题)： 第二章 极限和连续 第二节 函数的极限 教学目的、要求（分掌握、理解、了解三个层次）： 1. 理解函数极限的概念、左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关系； 理解函数极限的性质。 2. 培养学生能够运用极限思想分析实际问题。 3. 训练学生掌握“用极限概念”分析问题和解决问题的数学思想。 教学内容（包括基本内容、重点、难点）： 重点：函数极限的概念，左极限与右极限的概念。 难点：极限的局部保号性、函数极限与数列极限的关系。 主要内容 复习：数列极限的定义 新授： 第二节 函数的极 一、自变量趋于无穷大时函数的极限 1. 定义 1 设函数 xf )( 当 x a 时有定义，如果对于任意给定的正数 （无论它有多么小），总 存在一个正数 X ，使得对满足不等式 x X 的一切 x ，对应的函数值 xf )( 都满足 )( Axf ，则常数 A 称为函数 xf )( 当 x 时的极限，记作 lim ( ) x f x A 。 注： Axf x )(lim X 0,0 ,当 Xx 时,有 )( Axf 。 2. 单侧极限 lim ( ) 0, 0, x f x A X 当 x X 时，有 )( Axf ． lim ( ) 0, 0, x f x A X 当 x X 时，有 )( Axf ． 由定义可见，极限 Axf x lim )( 的充分必要条件是： Axfxf x x )(lim)(lim . 举例 1 二、自变量趋于有限值时函数的极限 1 . 定义 2 设函数 xf )( 在点 0 x 的某一去心邻域内有定义，如果对于任意给定的正数 （无论它多