第九节周期为2L的周期函数 的傅里叶级数 周期为ΣL的周期函数的傅里叶级数 巴二、典型例题 小结思考题
生一、以L为周期的傅氏级数 2π兀 ∵T=21,∴0=m= 代入傅氏级数中 T l La cos nox tb signor 2 +∑( n 庄定理设周期为的周期函数∫(满足收敛 定理的条件则它的傅里叶级数展开式为 (x)=0+(an+:nt nTr nTtr 2 n-=1 上页
一、以2L为周期的傅氏级数 T = 2l, . 2 T l = = 定理 定理的条件 则它的傅里叶级数展开式 为 设周期为 的周期函数 满足收敛 , 2l f (x) ( cos sin ), 2 ( ) 1 0 l n x b l n x a a f x n n n + = + = ( cos sin ) 2 1 0 a n x b n x a n n n = + + 代入傅氏级数中
其中系数an,b为 a nTr in-i/()cos i dx, (n=0,1,2,) Gf(r)sin 而dx,(n=1,2,…) (1)如果f(x)为奇函数,则有 f(x)=∑bsin nTtC n-=1 其中系数b为bn=f(x)sin,(n=1,2,…) 0
其中系数an , bn为 ( )cos , ( 0,1,2, ) 1 = = − dx n l n x f x l a l l n ( )sin , ( 1,2, ) 1 = = − dx n l n x f x l b l l n (1)如果f (x)为奇函数, 则有 ( ) sin , 1 = = n n l n x f x b ( )sin , 2 0 dx l n x f x l b b l n n 其中系数 为 = (n = 1,2, )
(2)如果f(x)为偶函数,则有 f(x)=+∑a,c0s nTur H-=1 其中系数a为an=2(x)cos nt dx 0 (n=0,1,2,…) ntr 上证明令1~1≤x≤1→-π≤z≤, 设(x2=r(k,=F(,F(o以m为周期 F(z)=+2(a, cos nz+b, sin nz ) 2 上页
(2)如果f (x)为偶函数, 则有 cos , 2 ( ) 1 0 = = + n n l n x a a f x dx l n x f x l a a l n n = 0 ( )cos 2 其中系数 为 (n = 0,1,2, ) 证明 , l x z 令 = − l x l − z , ( ) ( ) F(z), lz f x f = 设 = F(z)以2为周期. ( cos sin ), 2 ( ) 1 0 a nz b nz a F z n n = + n + =
其中 F(z)cos nzdz, T兀 T F(sin nzdz TC :z=,F(z)=f(x) 庄f(=+(0wx+bs 2 n=1 工工 其中an= ngC f(r)cos xdx, n70 f(x)sin xdx 上页
( cos sin ) 2 ( ) 1 0 x l n x b l n a a f x n n n + = + = ( )sin . 1 ( )cos , 1 − − = = b F z nzdz a F z nzdz n 其中 n ( )sin . 1 ( )cos , 1 − − = = l l n l l n xdx l n f x l b xdx l n f x l 其中 a F(z) f (x) l x z = =