第五节函数的幂级数展开式的应用 四一、近似计算 计算定积分 巴三、求数项级数的和 四、欧拉公式 四五、小结思考题
一、近似计算 A=a1+a2+…+an+ n A≈1+ +∴+a 2 误差rn= n+1+an+2 两类问题 1给定项数求近似值并估计精度; 2给出精度确定项数 牛关健通过估计余项确定精度或项数 上页
一、近似计算 , A = a1 + a2 ++ an + , A a1 + a2 ++ an . 误差 rn = an+1 + an+2 + 两类问题: 1.给定项数,求近似值并估计精度; 2.给出精度,确定项数. 关健:通过估计余项,确定精度或项数
常用方法: 1若余项是交错级数,则可用余和的首项来解决; 2若不是交错级数,则放大余和中的各项使之成 为等比级数或其它易求和的级数,从而求出其和 中例1计算e的近似值使其误差不超过05 工工工 解!=1+x+x2+…+x"+ 2! 令x=1,得e1+1+++mt 上页
常用方法: 1.若余项是交错级数,则可用余和的首项来解决; 2.若不是交错级数,则放大余和中的各项,使之成 为等比级数或其它易求和的级数,从而求出其和. 例1 , 10 . 计算 的近似值 使其误差不超过 −5 e 解 , ! 1 2! 1 1 x = + + 2 ++ x n + n e x x 令 x = 1, , ! 1 2! 1 1 1 n 得 e + + ++
余和: 1 十 十 (1 十 (n+1)!(n+2)! (n+1)!n+2 1 1 ≤ 十 十 (n+1)!n+1(n+12 n 欲使r≤105,只要,≤1035, n·n 即nm≥105,而88!=322560>10 11 e≈1+1+++…+,≈2.71828 2!3! 8 上页
余和: + + + + ( 2)! 1 ( 1)! 1 n n rn ) 2 1 (1 ( 1)! 1 + + + + = n n ) ( 1) 1 1 1 (1 ( 1)! 1 2 + + + + + + n n n ! 1 n n = 10 , −5 欲使 rn 10 , ! 1 −5 n n 只要 ! 10 , 5 即n n 8 8! 322560 10 , 5 而 = 8! 1 3! 1 2! 1 e 1+ 1+ + ++ 2.71828
3 例2利用sinx≈x-计算sin9的近似值, 3! 并估计误差 解sin9= 元 元 SIn 2020620 1兀 2|≤ 02)5< <10-5 5!20120 300000 ∴sin90≈0.157079-0.00046≈0156433 其误差不超过10-5. 上页
例2 . sin9 , 3! sin 0 3 并估计误差 利用 计算 的近似值 x x x − 解 20 sin9 sin 0 = ) , 20 ( 6 1 20 3 − 5 2 ) 20 ( 5! 1 r 5 (0.2) 120 1 300000 1 10 , −5 sin9 0.157079 0.000646 0 − 0.156433 其误差不超过 . 5 10−