183第二节向量的乘法运算第二节向量的乘法运算一、数量积1.数量积的概念一个物体在恒力F的作用下沿直线从点O移动到点A(图6-22)，得到位移S=OA，且F与S的夹角为6，由力学知识得，力F所作的功为W-FISicose功W是数量，它由力F和位移S的模及夹角6唯一确定：这种由两个向量运算后所得到的数的式子在解决实际问题中经常遇到，下面给出向量与向量的内积。F(a6)s0图6-23图6-22定义1向量a与b的模及它们夹角余弦的乘积称为向量a与b的数量积，记作a.b，即a.b=lallblcos(a.b)根据这个定义，上述力F所作的功为：W=F.S，向量与6的数量积也是一种运算，运算符号用一个黑点"表示，因此数量积也叫做点积，注意作点乘时，这个""不能省略，数量积有时也称为内积由图6-24(a)可以看到，数|b|cos(a,b)等于有向线段OB的值，称这个数|b/cos(a,b)为向量b在向量a(a+0)上的投影，记作Prib，即a.b=alPrab同样，由图6-24(b)可以看到，数a|cos(a,b)等于有向线段OB的值，称这个数a|cos(a,b)为向量a在向量b(6+0)上的投影，记作Pri,a，即a.b-biPrja.这就是说，两向量的数量积等于其中一个向量的模和另一个向量在这个向量上的投影的乘积，46(a)(b)图6-242.数量积的运算性质由数量积的定义，可以推出数量积的如下运算性质，性质1a.a-ap，a.0-0.证因为laxaaaicos(a)allaicoso=ap，laxoaoicos(ao)=aoicoso=0，所以a.a=ap,a.0=0.性质2交换律a·b=b.a证根据定义，有a.b=abicos(a,b)，b.a=bllalcos(b,a)，而cos(a,b)=cos(b,a)，所以
第二节 向量的乘法运算 183 第二节 向量的乘法运算 一、数量积 1. 数量积的概念 一个物体在恒力 F ur 的作用下沿直线从点O 移动到点 A (图 622)，得到位移S = OA ur uur ，且 F ur 与 S ur 的夹 角为q ，由力学知识得，力 F ur 所作的功为 W =| F | × | S | cosq r r ． 功W 是数量，它由力 F ur 和位移 S ur 的模及夹角q 唯一确定．这种由两个向量运算后所得到的数的式子在 解决实际问题中经常遇到，下面给出向量与向量的内积． 图 622 图 623 定义 1 向量a r 与b r 的模及它们夹角余弦的乘积称为向量a r 与b r 的数量积，记作a × b r r ，即 a ×b =| a || b | cos(a ,b) r r r r r r $ ． 根据这个定义，上述力 F ur 所作的功为：W = F × S ur ur ． 向量a r 与b r 的数量积也是一种运算，运算符号用一个黑点"g" 表示，因此数量积也叫做点积，注意 作点乘时，这个"g" 不能省略，数量积有时也称为内积． 由图 624(a)可以看到，数| b | cos(a ,b ) r r r $ 等于有向线段OB 的值，称这个数| b | cos(a ,b ) r r r $ 为向量b r 在向 量 a(a ¹ 0) r r r 上的投影，记作 P a rj r b r ，即 | | a a ×b = a Prj r b r r r r ． 同样，由图 624(b)可以看到，数| a | cos(a ,b) r r r $ 等于有向线段OB 的值，称这个数| a | cos(a ,b) r r r $ 为向量 a r 在向量b (b ¹ 0) r r r 上的投影，记作 b Prj r a r ，即 | | b a ×b = b Prj ra r r r r ． 这就是说，两向量的数量积等于其中一个向量的模和另一个向量在这个向量上的投影的乘积． 图 624 2. 数量积的运算性质 由数量积的定义，可以推出数量积的如下运算性质． 性质 1 2 a × a =| a | r r r ，a × 0 = 0 r r ． 证 因为 2 | a ¥ a |=| a || a | cos(a ,a) =| a || a | cos 0 =| a | r r r r r r r r r $ ， | a ¥ 0 |=| a || 0 | cos(a ,0) =| a || 0 | cos 0 = 0 r r r r r r r r $ ，所以 2 a × a =| a | r r r ， a × 0 = 0 r r ． 性质 2 交换律 a ×b = b × a r r r r ． 证 根据定义，有 a ×b =| a || b | cos(a ,b) r r r r r r $ ， b × a =| b || a | cos(b , a) r r r r r r $ ，而 cos(a ,b ) = cos(b , a) r r r r $ $ ，所以
184第6向量代数与空间解析几何a.b=b.a.性质3分配律a.(b+)=a.b+a·c.证因为当a=0时，显然成立；当a+0时，由投影性质2有a.(b +c)=lalprja(b+c)=a[(prj,b+prjac)=lalprjab+lalprjac =a.b+a.c.性质4结合律(aa)·b=(a.b)=a.(ab).证因为当6=0时，显然成立；当60时，由投影性质3有(aa)-b=blpri;(aa)=ajbl prj,a=a(a.b) .由交换律和(aa)-b=a(a.b)知，a(a.b)=a.(ab)，因为a-(ab)=(ab)-a = (b.a)= (a.b) .性质5alb=a.b=0证当a与b均为非零向量时，由a.b=0，知a与b均不为零，所以cos0=0，从而=元/2，即ab；反之，由ab，知=2，即cose=0，于是a.b=abcoso=0当a与b中至少有一个零向量时，必有a·b=0，而由零向量可以认为与任何向量垂直知，alb.因此，alb与a.b=0等价从上可以看出上述运算规律和代数运算规律相同，因此在作向量的内积运算时可运用我们熟习的代数运算规律处理.3.数量积的坐标表示式设向量a=(ar,a,,a.)，b=(b,b,b.)，则a与b内积的坐标表示式为a.b=a,b,+a,b,+a.b.，也就是，两个向量的内积等于这两个向量对应坐标乘积之和。事实上，根据数量积的性质，可得a.b=(a7+a,J+ak).(b7+b,j+b.k)=ab7.7+ab,7.j+ab7.k+a,bj.7+a,bj.j+a,bj.k+ab.k.i+ab.k.j+ab.k.k.由于7,j,k两两垂直，因而7-j=j-7=0，7.k=k.i=0，.k=k-j=0.又由于7,j,k的模为1，所以7.7-1, j,j-1, k.k -1.由向量的模、夹角和内积的关系，当a与b均为非零向量时，两向量夹角余弦的坐标表示式cos(a,b)= a-6ab,+a,b,+ab1ailb1Ja+a,+a b2+b,+b例1试用向量证明三角形的余弦定理.证在4BC中(图6-25)，设/BCA=，|BCa，ICA=b，AB=C，要证c2=a+b2-2abcos0图6-25记BC=a，CA=b，AB=c，则有c=a-b,从而1zp=c.c=(a-b).(a-b)=a.a-2a.b+b.b=ap+bp-2iallbicoso,即c=a+b2-2abcos0
184 第 6 向量代数与空间解析几何 a ×b = b × a r r r r ． 性质 3 分配律 a ×(b + c ) = a ×b + a × c r r r r r r r ． 证 因为当a = 0 r r 时，显然成立；当a ¹ 0 r r 时，由投影性质 2 有 ( ) | | ( ) ( ) a a a a × b + c = a prjr b + c = a prjrb + prjr c r r r r r r r r r | | | | a a = a prj rb+ a prjr c = a ×b + a × c r r r r r r r r ． 性质 4 结合律 (l a)×b = l(a ×b ) = a × (lb) r r r r r r ． 证 因为当b = 0 r r 时，显然成立；当b ¹ 0 r r 时，由投影性质 3 有 ( ) | | ( ) | | ( ) b b l a ×b = b prj r l a = l b prj ra = l a × b r r r r r r r r ． 由交换律和(l a)×b = l(a × b) r r r r 知，l(a ×b ) = a × (lb) r r r r ，因为 a ×(lb ) = (lb)× a = l(b ×a) = l(a × b) r r r r r r r r ． 性质 5 a ^ b ¤ a ×b = 0 r r r r ． 证 当a r 与b r 均为非零向量时，由a ×b = 0 r r ，知| a | r 与| b | r 均不为零，所以cosq = 0 ，从而q = p 2 ， 即 a ^ b r r ；反之，由a ^ b r r ，知q = p 2，即cosq = 0 ，于是 a ×b =| a || b | cosq = 0 r r r r ． 当 a r 与b r 中至少有一个零向量时， 必有a ×b = 0 r r ， 而由零向量可以认为与任何向量垂直知，a ^ b r r ． 因 此，a ^ b r r 与 a ×b = 0 r r 等价． 从上可以看出上述运算规律和代数运算规律相同，因此在作向量的内积运算时可运用我们熟习的 代数运算规律处理． 3. 数量积的坐标表示式 设向量 ( , , ) x y z a = a a a r ， ( , , ) x y z b = b b b r ，则a r 与b r 内积的坐标表示式为 x x y y z z a ×b = a b + a b + a b r r ，也就 是，两个向量的内积等于这两个向量对应坐标乘积之和．事实上，根据数量积的性质，可得 ( ) ( ) x y z x y z a ×b = a i + a j + a k × b i + b j + b k r r r r r r r r x x x y x z = a b i × i + a b i × j + a b i × k r r r r r r y x y y y z +a b j ×i + a b j × j + a b j × k r r r r r r z x z y z z +a b k × i + a b k × j + a b k × k r r r r r r ． 由于i , j, k r r r 两两垂直，因而i × j = j × i = 0 r r r r ，i × k = k × i = 0 r r r r ， j × k = k × j = 0 r r r r ．又由于 i , j, k r r r 的模为 1，所以 i ×i = 1 r r ， j × j = 1 r r ，k × k = 1 r r ． 由向量的模、夹角和内积的关系，当a r 与b r 均为非零向量时，两向量夹角余弦的坐标表示式 2 2 2 2 2 2 cos( , ) | || | x x y y z z x y z x y z a b a b a b a b a b a b a a a b b b × + + = = + + + + r r r r $ r r ． 例 1 试用向量证明三角形的余弦定理． 证 在D ABC 中(图 625)，设–BCA = q ，| BC |= a ，| CA|= b ，| AB |= c ，要证 2 2 2 c = a + b - 2ab cosq ． 图 625 记 BC = a uuur r ，CA = b uur r ， AB = c uuur r ，则有c = a - b, r r r 从而 2 | c | = c × c = (a - b )×(a - b) = a × a - 2a ×b + b × b r r r r r r r r r r r r r 2 2 =| a | + | b | -2 | a || b | cosq r r r r ， 即 2 2 2 c = a + b - 2ab cosq ．