《高等数学》课程教学资源（教案讲义）第6章 向量代数与空间解析几何

178第6向量代数与空间解析几何正值，当与a反向时，取负值，即有=，这是因为此时与a同向，且aa再证明数的唯一性。设=a，又设=a，两式相减，便得(-)a-，即-lo因，故，即=定理是建立数轴的理论依据.我们知道，给定一个点、一个方向和长度单位，就确定了一条数轴.由于一个单位向量既确定了方向又确定了单位长度，因此，给定一个点和一个单位向量就确定了一条数轴.设点0及单位向量确定了数轴Ox(图6-16)，对于轴上任意一点P，对应一个向量OP，由于OPIli，根据定理1，必有唯一的实数x，使得OP=xi，并且OP与实数x一一对应.于是点P向量OP=xi实数x，从而轴上的点P与实数x一一对应.据此，定义实数x为轴上点P的坐标.由此可知，轴上点P的坐标为x的充分必要条件是OP=x7.Y40PxI图6-16四、利用坐标作向量的线性运算1.向量的坐标表示上面我们是用几何方法讨论了向量的线性运算，这个方法虽然较直观，但计算不方便，而且有些问题仅靠几何方法是很难解决的。现在我们来引进向量的坐标表示，用代数方法讨论向量的线性运算，在空间直角坐标系OxVz中，我们称与x轴、v轴、=轴正向同向的单位向量为基本单位向量，依次记为7.7k.而向量7=OM称为点M关于原点O的向径(图6-17(a)。任给向径产，有对应点M，使得OM=F，以OM为对角线、三个坐标轴为邻边作一个长方体，依次交于P,Q,R点（图6-17(b))，根据向量的加法，则向径可表示为F=OM=OP+PM'+MM=OP+OR+OQ=OP+OQ+OR4+1(b)(a)图6-17由定理知，向量OP、O、OR可用基本单位向量表示为OP=xi，OQ=y］，OR==k，所以，向径可进一步表示为P-OM- xi+yj+-k.上式称为向径OM的分解式，xi,yj=k称为向径OM沿三个坐标轴方向的分向量.显然，给定了点M，就确定了向径产=OM，也就确定了OP，OQ,OR三个分向量，进而确定了x、y、2三个有序数；反之，给定三个有序数x,y,=也就确定了向径=OM与点M.于是点M、向径OM与三个有序x,J,=之间有一一对应的关系MAr=OM=x7+yj+=kα(x, y,=).有序数x,y,=称为向径=OM的坐标，记作F=OM=(x,y,)，并称该式为向径=OM的坐标表示式定义表明，一个点与该点的向径有相同的坐标.记号（x，y,2)既表示点M，又表示向径OM．显

178 第 6 向量代数与空间解析几何 正值, 当b r 与 a r 反向时，l 取负值，即有b =la r r ．这是因为此时b r 与la r 同向，且| la |=| l || a |=| b | r r r ． 再证明数l 的唯一性．设b = l a r r ，又设b = m a r r ，两式相减，便得(l - m)a = 0 r r ，即| l - m || a |= 0 r |， 因| a |¹ 0 r ，故| l - m |= 0，即l = m ． 定理是建立数轴的理论依据． 我们知道， 给定一个点、 一个方向和长度单位， 就确定了一条数轴． 由 于一个单位向量既确定了方向又确定了单位长度．因此，给定一个点和一个单位向量就确定了一条数 轴． 设点O 及单位向量ir 确定了数轴Ox (图 6­16)， 对于轴上任意一点 P ， 对应一个向量OP  uuur ， 由于OP// i uuur r ， 根据定理 1，必有唯一的实数 x ，使得OP = x i uuur r ，并且OP  uuur 与实数 x 一一对应．于是 点 P ´向量OP = x i uuur r ´实数 x ， 从而轴上的点 P 与实数 x 一一对应．据此，定义实数 x 为轴上点 P 的坐标．由此可知，轴上点 P 的坐 标为 x 的充分必要条件是OP = x i uuur r ． 图 6­16  四、利用坐标作向量的线性运算 1.  向量的坐标表示 上面我们是用几何方法讨论了向量的线性运算，这个方法虽然较直观，但计算不方便，而且有些 问题仅靠几何方法是很难解决的．现在我们来引进向量的坐标表示，用代数方法讨论向量的线性运算． 在空间直角坐标系Oxyz 中，我们称与 x 轴、 y 轴、 z 轴正向同向的单位向量为基本单位向量，依 次记为i , j, k  r r r ．而向量r = OM uuur r 称为点M 关于原点O 的向径(图 6­17(a))． 任给向径r r ，有对应点M ，使得OM = r uuur r ，以OM 为对角线、三个坐标轴为邻边作一个长方体，依 次交于 P,Q, R 点(图 6­17(b))，根据向量的加法，则向径可表示为 r = OM = OP + PM ¢ + M ¢ M uuur uuur uuuur uuuur r = OP + OR + OQ = OP + OQ + OR uuur uuur uuur uuur uuur uuur ． 图 6­17  由定理知，向量OP  uuur 、OQ uuur 、OR  uuur 可用基本单位向量表示为OP = x i uuur r ， OQ = y j uuur r ，OR = z k uuur r ，所以，向 径可进一步表示为 r = OM = x i + y j + z k uuur r r r r ． 上式称为向径OM  uuur 的分解式， x i , y j,z k  r r r 称为向径OM  uuur 沿三个坐标轴方向的分向量． 显然，给定了点M ，就确定了向径r = OM uuur r ，也就确定了OP,OQ,OR  uuur uuur uuur 三个分向量， 进而确定了 x 、 y 、z 三个有序数；反之，给定三个有序数 x, y,z 也就确定了向径r = OM uuur r 与点M ．于是点M 、向径OM  uuur 与三个有序 x, y,z 之间有一一对应的关系 M ´ r = OM = x i + y j + z k ´ (x, y, z) uuur r r r r ． 有序数 x, y,z 称为向径r = OM uuur r 的坐标，记作r = OM = (x, y, z) uuur r ，并称该式为向径r = OM uuur r 的坐标表示式． 定义表明，一个点与该点的向径有相同的坐标．记号(x, y, z) 既表示点M ，又表示向径OM  uuuv ．显

第一节向量及其线性运算179然，基本单位向量的坐标表示式是7=(1,0,0),j=(0,1,0),k=(0,0,1)，零向量的坐标表示式为0=(0,0,0).2.向量线性运算的坐标表示设两个向量的坐标表示式分别为a=(a,,a,a.)，b=(b,b,b.)，则a+b=(a,+br,a,+by,a.+b.),a-b=(a-br,a,-by,a.-b.),aa=(aar,ay,na.).由此可见，对向量进行加、减及数乘运算，只需对向量的各个坐标分别进行相应的数量运算就行了。利用向量的坐标表示，容易得到：向量a=(ax,a,a.）与b=(b,b,,b.）相等的充分必要条件是它们对应的坐标分别相等，即a=ba,=b,，a,=b,，a,=b..利用向量的坐标表示，我们也可以得到：向量b=(bb,,b.）与非零向量a=(ax,a,,a.）平行的充分必要条件是它们对应的坐标成比例，即ba-h-_axa,a.事实上，由本节定理知，当a+0时，b//ab=a(b,b,b.)=(ar,aya,)(b,b,b)=(ar,a,,a,)- b,=ia,b,=a,b=ia, -b--b-b,araa.注意当a,4,a,至少有一个为零时，如只有α,=0时，比例式应理解为b,=0,≤=.只有aya.a,=a,=0时，比例式应理解为b,=0,b,=0..例2已知两点M,(x,J,=)和M(x,J2,=2)，求M,M,在三个坐标轴上的投影及分解表达式.解如图6-18所示，由两点M和M,确定的向量M,M，可表示为向径OM，与OM之差，即M,M, =OM,-OM,=(x, -X,J2 -J,22 -=)于是M,M，的分解表达式为M,M, =(x2 -x)7 +(y2 -Ji)+(=2 -2)h/x图6-18图6-19例3已知两点A(x,J,=)和B(x,J2,=)以及实数入1，在直线AB上求一点M，使AM=aMB.解如图6-19所示，由于AM-OM-OA，MB-OB-OM，因此OM-OA=a(OB-OM)，从而（+++）1OM-(OA + 1OB) =1+元（1+元1+元1+这就是点M的坐标点M叫做有向线段AB的定比分点.当=1，点M的有向线段AB的中点，其坐标为X=3+x-y+y2，==3+22=222

第一节 向量及其线性运算 179 然，基本单位向量的坐标表示式是i = (1,0,0), j = (0,1,0), k = (0,0,1) r r r ，零向量的坐标表示式为0 = (0,0,0) r ． 2.  向量线性运算的坐标表示 设两个向量的坐标表示式分别为 ( , , ) x y z a = a a a r ， ( , , ) x y z b = b b b r ，则 ( , , ) x x y y z z a + b = a + b a + b a + b r r ， ( , , ) x x y y z z a - b = a - b a - b a -b r r ， ( , , ) x y z la = la la la r ． 由此可见，对向量进行加、减及数乘运算，只需对向量的各个坐标分别进行相应的数量运算就行了． 利用向量的坐标表示，容易得到：向量 ( , , ) x y z a = a a a r 与 ( , , ) x y z b = b b b r 相等的充分必要条件是它们对 应的坐标分别相等，即a = b ¤ r r x x a = b ， y y a = b ， z z a = b ． 利用向量的坐标表示，我们也可以得到：向量 ( , , ) x y z b = b b b r 与非零向量 ( , , ) x y z a = a a a r 平行的充分必 要条件是它们对应的坐标成比例，即 b || a ¤ r r x y z x y z b b b a a a = = ． 事实上，由本节定理知，当a ¹ 0 r r 时， b || a r r ¤ b = la r r ¤ ( , , ) ( , , ) x y z x y z b b b = l a a a ¤ ( , , ) ( , , ) x y z x y z b b b = la la la ¤ , , x x y y z z b = la b = la b = la ¤ x y z x y z b b b a a a = = ． 注意 当 , , x y z a a a 至少有一个为零时，如只有 0 x a = 时，比例式应理解为 0, . y z x y z b b b a a = = 只有 0 x y a = a = 时，比例式应理解为 0, 0. x y b = b = ． 例 2  已知两点 1 1 1 1  M (x , y ,z ) 和 2 2 2 2  M (x , y ,z ) ，求 M1M 2 uuuuuuv 在三个坐标轴上的投影及分解表达式． 解 如图 6­18 所示，由两点M 1和 M 2确定的向量M1M 2 uuuuuuv 可表示为向径OM 2 uuuur 与OM 1 uuuur 之差，即 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1  M M = OM - OM = (x - x , y - y ,z - z ) uuuuuuv uuuur uuuur ． 于是M1M 2 uuuuuuv 的分解表达式为 1 2 2 1 2 1 2 1  M M = (x - x )i + ( y - y ) j + (z - z )k uuuuuuv r r r ． 图 6­18  图 6­19  例 3  已知两点 1 1 1  A(x , y ,z ) 和 2 2 2  B(x , y ,z ) 以及实数l ¹ 1 ，在直线 AB 上求一点M ，使 AM = lMB uuur uuur ． 解 如图 6­19 所示，由于 AM = OM -OA uuur uuur uur ， MB = OB - OM uuur uuur uuur ，因此OM - OA = l(OB - OM ) uuur uur uuur uuur ．从而 1 ( ) 1 OM OA lOB l = + + uuur uur uuur 1 2 1 2 1 2  , ,  1 1 1 x lx x lx x lx l l l Ê + + + ˆ = Á ˜ Ë + + + ¯ ， 这就是点M 的坐标． 点 M 叫做有向线段 AB uuur 的定比分点．当l = 1，点 M 的有向线段 AB uuur 的中点，其坐标为 1 2  2 x x  x + = ， 1 2  2 y y  y + = ， 1 2  2 z z  z + = ．

180第6向量代数与空间解析几何[5x-3y=a[3x-2 -。 其中 -(2,1,2), (-1, -2),.例4求解以向量为未知元的线性方程组解解方程组，可得x=2a-3b，J=3a-5b.以a，b的坐标表示式代入，即得x = 2(2,1, 2)3(-1,1,-2)=(7,1,10) , y = 3(2, 1, 2)5(-1,1, 2) =(11, 2, 16) .五、向量的模、方向角、投影1.向量的模设向量a=(x,=)，作OM=a，图6-17(b)，则a=OM=OP+O+OR，按勾股定理可得IaHOMFyOPP+OOP+ORP由OP=xi,O0=yOR==，有OPHxOHyORHz，于是得向量模的坐标表示式为[a=/x2 +y2 +22.由此，可得到空间中点M(,1,2)到点M(r,J2,22)的距离公式为d=M,M,F /(x -x)+(y, -) +( -z).例5已知两点A(4,0,5)和B(7,1,3)，求与AB方向相同的单位向量解因为AB=(7,1,3)-(4,0,5)=(3,1,-2)，1AB/32 +1 +(-2)=V14。所以3(3,1, -2) ([ABV14例6求证以M,(4,3,1)、M,(7,1,2)、M,(5,2,3)三点为顶点的三角形是一个等腰三角形解因为[M,M, I= (7- 4) +(1-3) +(2 -1)2 = 14 ,M,M, F= (5 - 7) +(2-1) + (3- 2)° = 6 ,IM,M, P=(5-4) +(2-3) +(3-1) = 6 所以M,M,I=MMI，即MM,M,为等腰三角形例7在=轴上求与两点A(-4,1,7)和B(3,5,-2)等距离的点解设所求的点为M(O,0,)，依题意有|MA=IMB，即(0 + 4)2 +(0 -1)2 +(z- 7)2 = (0- 3)2 +(0 -5) +(=+2),解之得z=14/9，所以，所求的点为M(0,0,14/9)，2.方向角非零向量与三条坐标轴的正向的夹角α、β、称为向量的方向角（图6-2O)，cosα,cosβcos称为向量a的方向余弦，其中0≤α≤元，0≤β≤元、0≤≤元.如图6-20，设非零向量=OM=（xy,2），由于x是有向线段OP的值，又MP1OP，则JOPI-xxcosα[OM17x+y+2?类似地可知，ycosβ=cOsyF+y+2[ /x?+y2+22

180 第 6 向量代数与空间解析几何 例 4  求解以向量为未知元的线性方程组 5 3 3 2 x y a x y b Ï Ô - = Ì Ô Ó - = r r ，其中a = (2, 1, 2) r ，b = (-1,1, - 2) r ． 解 解方程组，可得 x = 2 a - 3b r r ， y = 3a - 5b r r ．以a r ， b r 的坐标表示式代入， 即得 x = 2(2, 1, 2) - 3(-1,1,-2) = (7,- 1,10) ， y = 3(2, 1, 2) -5(-1,1, - 2) = (11, - 2 , 16) ． 五、向量的模、方向角、投影 1.向量的模 设向量a = (x, y, z) r ，作OM = a uuur r ，图 6­17(b)，则a = OM = OP + OQ + OR uuur uuur uuur uuur r ，按勾股定理可得 2 2 2 | a |=| OM |= | OP | + | OQ | + | OR | uuur uuur uuur uuur r ， 由OP = x i , OQ = y j,OR = z k uuur r uuur r uuur r ，有| OP |=| x |,| OQ |=| y |,| OR |=| z | uuur uuur uuur ，于是得向量模的坐标表示式为 2 2 2  | a |= x + y + z r ． 由此，可得到空间中点 1 1 1 1  M (x , y ,z ) 到点 2 2 2 2  M (x , y ,z ) 的距离公式为 2 2 2 1 2 2 1 2 1 2 1 d =| M M |= (x - x ) + (y - y ) + (z - z ) uuuuuur ． 例 5  已知两点 A(4, 0, 5)和 B(7, 1, 3) ，求与 AB uuur 方向相同的单位向量e  r ． 解 因为 AB = (7, 1, 3) - (4, 0, 5) = (3,1, -2) uuur ， 2 2 2  | AB |= 3 +1 + (-2) = 14 uuur ．所以 1 (3,1, 2) | | 14 AB  e  AB = = - uuur r uuur ． 例 6  求证以 1  M  (4, 3, 1)、 2  M  (7, 1, 2) 、 3  M  (5, 2, 3) 三点为顶点的三角形是一个等腰三角形． 解 因为 2 2 2 2  1 2  | M M | = (7 - 4) + (1- 3) + (2 -1) = 14 ， 2 2 2 2  2 3  | M M | = (5 - 7) + (2 -1) + (3- 2) = 6 ， 2 2 2 2  1 3  | M M | = (5 - 4) + (2 - 3) + (3 -1) = 6 ． 所以 2 3 1 3  | M M |= | M M | ，即 M1M2M 3为等腰三角形． 例 7 在 z 轴上求与两点 A(- 4, 1, 7) 和 B(3, 5, - 2) 等距离的点． 解 设所求的点为M (0,0,z) ，依题意有 2 2  | MA | =| MB | ，即 2 2 2 2 2 2  (0 + 4) + (0 -1) + (z - 7) = (0 - 3) + (0 - 5) + (z + 2) ． 解之得 z = 14 9 ，所以，所求的点为M (0, 0,14 9) ． 2.方向角 非零向量r r 与三条坐标轴的正向的夹角a 、b 、g 称为向量r r 的方向角 （图 6­20） ，cosa, cos b, cos g 称为向量a r 的方向余弦，其中0 £ a £ p ，0 £ b £ p 、0 £ g £ p ． 如图 6­20，设非零向量r = OM = (x, y,z) uuur r ，由于 x 是有向线段OP  uuur 的值，又MP ^ OP ，则 2 2 2  | |  cos | |  | | OP x x  OM  r  x y z a = = = + + uuur uuur r ． 类似地可知， 2 2 2  cos | | y y  r  x y z b = = + + r ， 2 2 2  cos | | z z  r  x y z g = = + + r ．

181第一节向量及其线性运算Z图6-20上述方向余弦的计算公式表明，非零向量的方向余弦cosα,cosβ,cos依次是的对应坐标与其模的比值．因此，我们有产(xyz-e(cosα,cos,cos)=(x,y,=)(该式进一步表明，以非零向量产的方向余弦为坐标的向量(cosα,cosβ,cos")就是与r同方向的单位向量é，所以cos?α+cosβ+cos"=1,即任意非零向量的方向余弦的平方和等于1例8设已知两点A(2,2,V2)和B(1,3,0)，计算向量AB的模、方向余弦和方向角解因为AB=(1.3.0)-(2.2.V2)=(1-2.3-2,0-V2)=(-1.1.-V2)，从而向量AB的模为[AB (-1) +1 +(-/2) = 2 .所以向量AB的方向余弦为cOsα=-1/2,cosβ=1/2，cos=-V2/2故向量AB的方向角为α=2元3，β=元3，=3元4.例9如果某向量的方向余弦分别满足下列条件，问该向量与坐标轴或坐标面的关系如何？(1)cosα=0;(2)cosβ=l;(3) cosα=cosβ=0.解（1）cosα=0，该向量与x轴夹角为元/2，即与x轴垂直，平行于yOz平面；（2）cosβ=1，该向量与y轴夹角为0，即与y轴平行，且方向与y轴正向一致，垂直于xOz平面；（3）cosα=cosβ=0，该向量与x轴夹角为元/2，与y轴夹角为元/2，即平行于=轴，垂直于xOz平面.3.向量在轴上的投影在图6-20中，如果撒开y轴和=轴，单独考虑x轴与向量产=OM的关系，那么过点M作垂直与x轴的平面，该平面与x轴的交点为P点，OP就是向量=OM在x轴上的分量，进而由OP=xi，便得向量=OM在x轴上的坐标x，且x=cosα一般地，设点O及单位向量e确定u轴（图6-21)，任给向量，作OM=7，再过点M作垂直与u轴的平面，该平面与u轴的交点为M'（点M'叫做点M在u轴上的投影）.则向量OM称为向量在u轴上的分量。设OM=ae，则数叫做向量在u轴上的投影，记作PrjF或(r)

第一节 向量及其线性运算 181 图 6­20  上述方向余弦的计算公式表明， 非零向量r r 的方向余弦cosa, cos b, cos g 依次是r r 的对应坐标与其模 的比值．因此，我们有 1 (cos , cos , cos ) , , ( , , ) | | | | | | | | | | x y z r  x y z e  r r r r r a b g Ê ˆ = Á ˜ = = = Ë ¯ r r r r r r r ． 该式进一步表明，以非零向量r r 的方向余弦为坐标的向量(cosa,cosb,cosg ) 就是与r r 同方向的单位向量 e  r ，所以 2 2 2  cos a + cos b + cos g = 1 ， 即任意非零向量的方向余弦的平方和等于 1． 例 8  设已知两点 A (2, 2, 2) 和 B(1, 3, 0)，计算向量 AB uuur 的模、方向余弦和方向角． 解 因为 AB = (1, 3, 0) - (2, 2, 2) = (1- 2 , 3- 2 , 0 - 2) = (-1 ,1, - 2) uuur ，从而向量 AB uuur 的模为 2 2 2 | AB |= (-1) +1 + (- 2) = 2 uuur ． 所以向量 AB uuur 的方向余弦为 cosa = - 1 2，cos b = 1 2 ，cos g = - 2 2 ． 故向量 AB uuur 的方向角为a = 2p 3 ， b = p 3，g = 3p 4 ． 例 9  如果某向量的方向余弦分别满足下列条件，问该向量与坐标轴或坐标面的关系如何？ （1）cosa = 0 ； （2）cos b = 1； （3）cosa = cos b = 0 ． 解 （1）cosa = 0 ，该向量与 x 轴夹角为p 2，即与 x 轴垂直，平行于 yOz 平面； （2）cos b = 1，该向量与 y 轴夹角为0 ，即与 y 轴平行，且方向与 y 轴正向一致，垂直于 xOz 平 面； （3）cosa = cos b = 0 ，该向量与 x 轴夹角为p 2，与 y 轴夹角为p 2，即平行于 z 轴，垂直于 xOz  平面． 3.  向量在轴上的投影 在图 6­20 中，如果撇开 y 轴和 z 轴，单独考虑 x 轴与向量r = OM uuur r 的关系，那么过点M 作垂直与 x 轴的平面，该平面与 x 轴的交点为 P 点，OP  uuur 就是向量r = OM uuur r 在 x 轴上的分量，进而由OP = xi uuur r ，便得 向量r = OM uuur r 在 x 轴上的坐标 x ，且 x =| r | cosa r ． 一般地，设点O 及单位向量e  r 确定u 轴（图 6­21） ，任给向量r r ，作OM = r uuur r ，再过点M 作垂直与u  轴的平面，该平面与u 轴的交点为M ¢(点M ¢叫做点 M 在u 轴上的投影)．则向量OM ¢ uuuur 称为向量r r 在u 轴 上的分量．设OM ¢ = le uuuur r ，则数l 叫做向量r r 在u 轴上的投影，记作 P u  rj rr 或( ) u  rr ．

182第6向量代数与空间解析几何图6-21按这个定义，直角坐标系Oxyz中的向量a=(a,a,a.)在三条坐标轴上的投影为Prj,a=a,Prj,a=a,,Prja=a,.或记作(a)，=a,，(a),=a,，(a)。=a：由此可见，向量的投影具有与坐标相同的性质：性质1Prj.a=lalcosp，其中β是向量a与u轴的夹角，性质2Prj, (a+b)=Prj.a+Prib.性质3Pri.(aa)=Prj,a

182 第 6 向量代数与空间解析几何 图 6­21  按这个定义，直角坐标系Oxyz 中的向量 ( , , ) x y z a = a a a r 在三条坐标轴上的投影为 Pr x x j a = a r ， Pr y y j a = a r ， Pr z z j a = a r ． 或记作( ) x x a = a r ，( ) y y a = a r ，( ) z z a = a r ．由此可见，向量的投影具有与坐标相同的性质： 性质 1 P u  rj a = r | a | cosj r ，其中j 是向量a r 与u 轴的夹角． 性质 2 ( ) Pr u u u  j a + b = Prj a + Prj b r r r r ． 性质 3 ( ) P u u  rj l a = lPrj a r r ．