da=dda)=∑ a-4 ax ax a-aa-a ldx? dx Adda Oxp axq axp 定义:O∈A 1)若do=0,称为闭微分形式 2)若彐∈A,使得4=,称O为恰当形式或正合形式 显然,恰当形式→闭形式,因为do=d(dm)=0.但闭形式不一定是恰当形式,看反 例: R2{0,0)} 容易验证dO=0,但不存在n∈A,使得dn=O 如果Ω2=右半平面,令n= arct∈A,使得d=,表明这时是恰当形式 §7.2微分形式的拉回 2.1微分形式的拉回映射 设!cR为一区域,记上的r次正则的k-形式为A(2),即 0=∑a1,(x)?…?,a1(x)∈C(s) <l2<…<k≤n 设DcRm也是一区域,多元向量值函数 x=q(l):D→g2 微分形式O在x=Q(u)下的变量替换称为O的拉回,严格的定义如下 定义:给定x=(u):D→9(m≤n)g∈C(D,k≤m,则称微分形式
6 0. ( ) 2 2 1 1 2 1 2 = ÷ ÷ ø ö ç ç è æ ¶ ¶ ¶ - ¶ ¶ ¶ = ¶ ¶ ¶ = ÷ ÷ ø ö ç ç è æ ¶ ¶ = = å åå å < = = = p q q p q p q p n p n q q p q p n p p p dx dx x x a x x a dx dx x x a dx x a d a d da d ? ? ? 定义: k w Î L , 1） 若dw = 0 , 称w 为闭微分形式; 2） 若 -1 $ Î L k h , 使得dh = w , 称w 为恰当形式或正合形式. 显然, 恰当形式Þ闭形式, 因为dw = d (dh) = 0 . 但闭形式不一定是恰当形式, 看反 例: , \ {(0,0)} 2 2 2 2 2 W = R + + + = - dy x y x dx x y y w . 容易验证dw = 0 , 但不存在 0 h ÎL , 使得dh = w . 如果W = 右半平面, 令 0 = arctg Î L x y h , 使得dh = w , 表明这时w 是恰当形式. §7.2 微分形式的拉回 2.1 微分形式的拉回映射 设 n W Ì R 为一区域, 记W 上的r 次正则的k -形式为L (W) k r , 即 ( ) , ( ) ( ) 1 1 2 1 1 1 = å Î W £ < < < £ r i i i i i n ai i x dxi dxi a x C k k k k L L w L ? L? . 设 m D Ì R 也是一区域, 多元向量值函数 x = j(u) : D ® W . 微分形式w 在 x =j (u) 下的变量替换称为w 的拉回, 严格的定义如下. 定义: 给定x u D m n C D k m r = ® W £ Î £ + ( ) : ( ), ( ), 1 j j , 则称微分形式
∑a1(q(u)don2…?d 1≤1<…<l≤n 是O经q的拉回 性质:拉回映射q*:A(D)→A(D)有如下性质 1)q*(o1+O2) ?dx,(k≤m),则 =a(()~ dn,?…?dlu, A(D),n∈A(D),k+l≤m,则 *(m 0*0)? 4)x=q()∈C(D)O∈/(D),r≥1,则 q*(do)=d(q*); ():GcR→DcR",v∈C(G ∈Cr+(D,l≤m≤ ∈AOD,k≤l, 证明:1)是平凡的 2)的证明.由定义 ax a((u) d du du.?…?dlt ∑∑-y hu.?…?d 1≤s1<2<…<≤m a du?…?dt 7
7 ( ) ( ( )) * ( ( )) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 D du u x du u x a u a u d d k r i i n m j j j i m j j j i i i i i n i i i i k k k k k k k k k Î L ÷ ÷ ø ö ç ç è æ ¶ ¶ ÷ ÷ ø ö ç ç è æ ¶ ¶ = = å å å å £ < < £ = = £ < < £ L L L L L L ? ? ? ? j j w j j j 是w 经j 的拉回. 性质: 拉回映射 *: (D) (D) k r k j Lr ® L 有如下性质. 1） 1 2 * 1 * 2 j *(w +w ) = j w +j w ; 2） ( ) ( ) 1 a x dx dx k m k w = i ? L? i £ , 则 ( ) ( ) ; , , , , * ( ( )) 1 1 1 1 1 å£ < < £ ¶ ¶ = s i m s s s s i i k k k k du du u u x x a u L L L L j w j ? ? 3） D D k l m l r k w Î Lr ( ), h Î L ( ), + £ , 则 j * (w?h) = j *w?j *h ; 4） ( ) ( ), ( ), 1 1 = Î Î L ³ + x u C D D r k r r j w , 则 j * (dw) = d (j *w) ; 5） ( ) : , ( ), 1 u t G D C G l m r+ =y Ì R ® Ì R y Î ( ) : , ( ), , 1 x u D C D l m n n r = ® W Ì Î £ £ + j R j D k l k w Î Lr ( ), £ , 则 (j oy ) *w =y * (j *w). 证明: 1）是平凡的. 2） 的证明. 由定义 ( ) ( ) . , , , , ( ( )) ( ( )) ( 1) ( ( )) * ( ( )) 1 1 2 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( , , ) [ , , ] , , 1 1 1 k k k k k k k k k k k k k k k k k k s s s s s m s s i i s s s s s m j i j i j j j j m j j j j j i j i m j j j i m j j j i du du u u x x a u du du u x u x a u du du u x u x a u du u x du u x a u ? ? ? ? ? ? ? ? L L L L L L L L L L L L L å å å å å å £ < < < £ £ < < < £ = = = ¶ ¶ = ÷ ÷ ø ö ç ç è æ ¶ ¶ ¶ ¶ = - ¶ ¶ ¶ ¶ = ÷ ÷ ø ö ç ç è æ ¶ ¶ ÷ ÷ ø ö ç ç è æ ¶ ¶ = j j j j w j