第十章数项级数 1级数问题的提出 1证明:若微分方程xy”+y+xy=0有多项式解 y=a0+a1+a2 则必有a1=0(i=1,2,……,n) 2.试确定系数a0,a1,…,an,…使∑anx满足勒让德方程 (1-x2)y2-2ry/+l(+1)y=0 2数项级数的收敛性及其基本性质 求下列级数的和 (1)∑(6m-0n Ane-i 3)∑{ (4)∑m1; a sinn r, rI<1 n=1 (6)∑rn cOS n T lrl n=1 2.讨论下列级数的敛散性:
第十章 数项级数 §1 级数问题的提出 1.证明：若微分方程xy” + y 0 + xy = 0有多项式解 y = a0 + a1x + a2x 2 + · · · + anx n , 则必有ai = 0(i = 1, 2, · · · , n). 2．试确定系数a0, a1, · · · , an, · · · ,使 P∞ n=0 anx n满足勒让德方程 (1 − x 2 )y” − 2xy 0 + l(l + 1)y = 0. §2 数项级数的收敛性及其基本性质 1．求下列级数的和： (1) P∞ n=1 1 (5n−4)(5n+1); (2) P∞ n=1 1 4n2−1 ; (3) P∞ n=1 (−1)n−1 2 n−1 ; (4) P∞ n=1 2n−1 2 n ; (5) P∞ n=1 r n sin nx, |r| < 1; (6) P∞ n=1 r n cos nx, |r| < 1. 2．讨论下列级数的敛散性： (1) P∞ n=1 n 2n−1 ; 1
∑(+品) (4)∑(=20n+1 n=1 3.证明定理10.2. 4.设级数∑n各项是正的,把级数的项经过组合而得到新级 数∑Un,即 Un+1=ukn+1+kn+2+…+kn+n=0,1,2,… 其中和=0,k0<k<k<…<k<kn+1<…若∑Un收敛,证明原来 的级数也收敛. 3正项级数 1.判别下列级数的收敛性: n=1 Vn-+n 2n-1 n=1 n=122 (4)∑sinm
(2) P∞ n=1 ( 1 2 n + 1 3 n ); (3) P∞ n=1 cos π 2n+1 ; (4) P∞ n=1 1 (3n−2)(3n+1); (5) P∞ n=1 √ 1 n(n+1)(√ n+ √ n+1) . 3．证明定理10.2. 4．设级数 P∞ n=1 un各项是正的，把级数的项经过组合而得到新级 数 P∞ n=1 Un,即 Un+1 = ukn+1 + ukn+2 + · · · + ukn+1 , n = 0, 1, 2, · · · 其中k0 = 0, k0 < k1 < k2 < · · · < kn < kn+1 < · · · .若 P∞ n=1 Un收敛，证明原来 的级数也收敛. §3 正项级数 1．判别下列级数的收敛性： (1) P∞ n=1 √ 1 n2+n ; (2) P∞ n=1 1 (2n−1)22n−1 ; (3) P∞ n=1 n− √ n 2n−1 ; (4) P∞ n=1 sin π 2 n ; (5) P∞ n=1 1 1+a n (a > 1); 2
(6)∑n [n(n+1) (9)∑2+(=1 n=1 (10)∑22 sin 3n; (12)∑ (13)∑m2 (14)∑mB (15)∑x (1+x)(1+x2)-(1+rn (17)++钙++ (18) 9 (In (21)∑3 3
(6) P∞ n=1 1 n √n n ; (7) P∞ n=1 ( 1 2n+1 ) n ; (8) P∞ n=1 1 [ln(n+1)]n ; (9) P∞ n=1 2+(−1)n 2 n ; (10) P∞ n=1 2 n sin π 3 n ; (11) P∞ n=1 n n n! ; (12) P∞ n=1 n ln n 2 n ; (13) P∞ n=1 n!2n nn ; (14) P∞ n=1 n!3n nn ; (15) P∞ n=1 n 2 (n+ 1 n ) n ; (16) P∞ n=1 x n (1+x)(1+x2)···(1+xn) (x ≥ 0); (17) 3 1 + 3·5 1·4 + 3·5·7 1·4·7 + 3·5·7·9 1·4·7·10 + · · · ; (18) P∞ n=1 1 nln n ; (19) P∞ n=1 1 (ln n) ln n ; (20) P∞ n=1 1 2 ln n ; (21) P∞ n=1 1 3 ln n ; 3
(23)∑3 n=1 2.利用泰勒公式估算无穷小量的阶,从而判别下列级数的收敛性: e-(1+)y]P; (2)∑ Incas a (3)∑(Vm+1-mPnn (4)∑(Vn+a-vm2+n+b) 3.已知两正项级数∑un和辶发散, n=1 问∑max(n,n),∑min(un,tn)两级数的收敛性如何? 4.若正项级数∑an收敛,an+1≤an(n=1,2,…),求证 lim nan=0. 5.设 n=是,n≠k2,k=1,2, 是,k=1 求证:(1)∑an收敛; (2) lim nan≠0. 6.讨论下列级数的收敛性: (1)
(22) P∞ n=1 1 3 √n ; (23) P∞ n=1 n 3 √n . 2．利用泰勒公式估算无穷小量的阶，从而判别下列级数的收敛性： (1) P∞ n=1 [e − (1 + 1 n ) n ] p ; (2) P∞ n=3 lnp cos π n ; (3) P∞ n=1 ( √ n + 1 − √ n) p ln n−1 n+1 ; (4) P∞ n=1 ( √ n + a − √4 n2 + n + b). 3． 已 知 两 正 项 级 数 P∞ n=1 un和 P∞ n=1 vn发 散 ， 问 P∞ n=1 max(un, vn)， P∞ n=1 min(un, vn)两级数的收敛性如何？ 4．若正项级数 P∞ n=1 an收敛，an+1 ≤ an(n = 1, 2, · · ·)，求证 limn→∞ nan = 0. 5．设 an = 1 n2 , n 6= k 2 , k = 1, 2, · · · , ak 2 = 1 k 2 , k = 1, 2, · · · , 求证:(1) P∞ n=1 an收敛; (2) limn→∞ nan 6= 0. 6．讨论下列级数的收敛性: (1) P∞ n=2 1 n(ln n) p ; (2) P∞ n=2 1 n·ln n·ln ln n ; 4
n(nn)l+o In In 2=2n(nn)P(In Inn 利用拉阿比判别法研究下列级数的收敛性: ()(P是实数; =1 (2)+4+n=1(a>0,B>0 8.设an>0,且lim"士=1,求证 lim van=反之是否成立? 9.利用级数收敛的必要条件证明 (1)1ma=0 (2)lim2a2=0(a>1 10.设an≥0,且数列{nan}有界证明级数∑a2收敛 11.设正项级数∑an收敛证明∑√anan+1也收敛 n=1 12.设lman=l,求证: 1)当>1时,∑n收敛 (2)当<1时,∑m发散 问l=1时会有什么结论? §4一般项级数 1.讨论下列级数的收敛性:
(3) P∞ n=2 1 n(ln n) 1+σ ln ln n (σ > 0); (4) P∞ n=2 1 n(ln n) p(ln ln n) q . 7．利用拉阿比判别法研究下列级数的收敛性: (1) P∞ n=1 [ (2n−1)!! (2n)!! ] p (p是实数); (2) P∞ n=1 α(α+1)···(α+n−1) n! 1 nβ (α > 0, β > 0). 8．设an > 0,且 limn→∞ an+1 an = l,求证 limn→∞ √n an = l.反之是否成立? 9．利用级数收敛的必要条件证明: (1) limn→∞ n n (n!)2 = 0; (2) limn→∞ (2n)! a n! = 0(a > 1). 10．设an ≥ 0,且数列{nan}有界,证明级数 P∞ n=1 a 2 n收敛. 11．设正项级数 P∞ n=1 an收敛,证明 P∞ n=1 √anan+1也收敛. 12．设 limn→∞ an = l,求证: (1) 当l > 1时, + P∞ n=1 1 nan 收敛; (2) 当l < 1时, P∞ n=1 1 nan 发散. 问l = 1时会有什么结论? §4 一般项级数 1．讨论下列级数的收敛性: 5