A?=A投影A在基8,828.下的矩阵是1.100这样，在取定一组基之后，就建立了由数域P上的n维线性空间V的线性变换到数域P上的nxn矩阵的一个映射.前面结论1说明这个映射是单射，结论2说明这个映射是满射.换句话说，在这二者之间建立了一个双射.这个对应的重要性表现在它保持运算，即有定理2设εj,ε2,",6,是数域P上n维线性空间V的一组基，在这组基下，每个线性变换按公式（5）对应一个n×n矩阵，这个对应具有以下性质：1）线性变换的和对应于矩阵的和；2）线性变换的乘积对应于矩阵的乘积；3）线性变换的数量乘积对应于矩阵的数量乘积；4）可逆的线性变换与可逆矩阵对应，且逆变换对应于逆矩阵定理2说明数域P上n维线性空间V的全体线性变换组成的集合L(V)对于线性变换的加法与数量乘法构成P上一个线性空间，与数域P上n级方阵构成的线性空间P×同构定理3设线性变换A在基,62，",8下的矩阵是A，向量在基,82",下的坐标是（,X2,",x），则A在基8182,",8下的坐标(yi,y2,",yn）可以按公式
A 2 =A 投影 A 在基 n , , , 1 2 下的矩阵是 0 0 1 1 1 这样，在取定一组基之后，就建立了由数域 P 上的 n 维线性空间 V 的线性变 换到数域 P 上的 nn 矩阵的一个映射.前面结论 1 说明这个映射是单射，结 论 2 说明这个映射是满射.换句话说，在这二者之间建立了一个双射.这个对 应的重要性表现在它保持运算，即有 定理 2 设 n , , , 1 2 是数域 P 上 n 维线性空间 V 的一组基，在这组基 下，每个线性变换按公式（5）对应一个 nn 矩阵，这个对应具有以下性质： 1）线性变换的和对应于矩阵的和； 2）线性变换的乘积对应于矩阵的乘积； 3）线性变换的数量乘积对应于矩阵的数量乘积； 4）可逆的线性变换与可逆矩阵对应，且逆变换对应于逆矩阵. 定理 2 说明数域 P 上 n 维线性空间 V 的全体线性变换组成的集合 L(V) 对于线性变换的加法与数量乘法构成 P 上一个线性空间，与数域 P 上 n 级方 阵构成的线性空间 n n P 同构. 定理 3 设线性变换 A 在基 n , , , 1 2 下的矩阵是 A ，向量 在基 n , , , 1 2 下的坐标是 ( , , , ) 1 2 n x x x ,则 A 在基 n , , , 1 2 下的坐标 ( , , , ) 1 2 n y y y 可以按公式
yL计算.二、同一个线性变换在不同基下的矩阵的关系线性变换的矩阵是与空间中一组基联系在一起的.一般说来，随着基的改变，同一个线性变换就有不同的矩阵.为了利用矩阵来研究线性变换，有必要弄清楚线性变换的矩阵是如何随着基的改变而改变的定理4设线性空间V中线性变换A在两组基(6)81,82.",8m(7)Ni,n2,",nn下的矩阵分别为A和B从基（6）到（7）的过渡矩阵是X，于是B=X-AX定理4告诉我们，同一个线性变换A在不同基下的矩阵之间的关系.定义3设A，B为数域P上两个n级方阵，如果可以找到数域P上的n级可逆方阵X，使得B=X-AX，就说A相似于B，记作A～B.相似是矩阵之间的一种关系，这种关系具有下面三个性质：1.反身性：A~A2.对称性：如果A~B，那么B～A.3.传递性：如果A~B,B~C,那么A~C.定理5线性变换在不同基下所对应的矩阵是相似的；反过来，如果两个矩阵相似，那么它们可以看作同一个线性变换在两组基下所对应的矩阵矩阵的相似对于运算有下面的性质，如果B,=X-AX,B,=X-AX，那么B, +B, = X-'(A + A2)X ,B,B, = X-(A,A,)X
= n n x x x A y y y 2 1 2 1 计算. 二、同一个线性变换在不同基下的矩阵的关系. 线性变换的矩阵是与空间中一组基联系在一起的.一般说来，随着基的 改变，同一个线性变换就有不同的矩阵.为了利用矩阵来研究线性变换，有 必要弄清楚线性变换的矩阵是如何随着基的改变而改变的. 定理 4 设线性空间 V 中线性变换 A 在两组基 n , , , 1 2 (6) n , , , 1 2 (7) 下的矩阵分别为 A 和 B 从基（6）到（7）的过渡矩阵是 X ，于是 B X AX −1 = . 定理 4 告诉我们，同一个线性变换 A 在不同基下的矩阵之间的关系. 定义 3 设 A ， B 为数域 P 上两个 n 级方阵，如果可以找到数域 P 上的 n 级可逆方阵 X ，使得 B X AX −1 = ，就说 A 相似于 B ，记作 A ~ B . 相似是矩阵之间的一种关系，这种关系具有下面三个性质： 1. 反身性： A ~ A 2. 对称性：如果 A ~ B ，那么 B ~ A . 3. 传递性：如果 A ~ B , B ~ C,那么 A ~ C. 定理 5 线性变换在不同基下所对应的矩阵是相似的；反过来，如果两 个矩阵相似，那么它们可以看作同一个线性变换在两组基下所对应的矩阵. 矩阵的相似对于运算有下面的性质. 如果 B X A1X 1 1 − = , B X A2X 1 2 − = ，那么 B B X (A1 A2 )X 1 1 + 2 = + − , B B X (A1A2 )X 1 1 2 − =
由此可知，如果B=X-AX，且f(x)是数域P上一多项式，那么f(B)= X-f(A)X利用矩阵相似的这个性质可以简化矩阵的计算.例2设V是数域P上一个二维线性空间，6i,6,是一组基，线性变换A在8,8下的矩阵是2-10计算A在V的另一组基n1,n2下的矩阵，这里-(n1,n2) =(6j,62 )/-12
由此可知，如果 B X AX −1 = ，且 f (x) 是数域 P 上一多项式，那么 f (B) X f (A)X −1 = 利用矩阵相似的这个性质可以简化矩阵的计算. 例 2 设 V 是数域 P 上一个二维线性空间， 1 2 , 是一组基，线性变换 A 在 1 2 , 下的矩阵是 −1 0 2 1 计算 A 在 V 的另一组基 1 2 , 下的矩阵，这里 − − = 1 2 1 1 ( , ) ( , ) 1 2 1 2