V的变换A称为可逆的，如果有V的变换B存在，使AB=BA=E这时，变换B称为A的逆变换，记为A-.如果线性变换A是可逆的，那么它的逆变换A-也是线性变换既然线性变换的乘法满足结合律，当若干个线性变换A重复相乘时，其最终结果是完全确定的，与乘法的结合方法无关.因此当n个（n是正整数线性变换A相乘时，就可以用阶AA...A来表示，称为A的n次幂，简记为A”.作为定义，令A°= E.根据线性变换幂的定义，可以推出指数法则：Am+n=A"A",(A")"=Am"(m,n≥O)当线性变换A可逆时，定义A的负整数幂为A-"=(A-")"(n是正整数)值得注意的是，线性变换乘积的指数法则不成立，即一般说来(AB)" + A" B".设f(x)=amx" +am-ixm- +...+ao是P[x]中一多项式，A是V的一个线性变换，定义fa)=amA"+am--Am-l+..+aE显然f（A)是一线性变换，它称为线性变换A的多项式不难验证，如果在P[x]中
V 的变换 A 称为可逆的，如果有 V 的变换 B 存在，使 AB=BA=E. 这时，变换 B 称为 A 的逆变换，记为 A −1 .如果线性变换 A 是可逆的，那么 它的逆变换 A −1 也是线性变换. 既然线性变换的乘法满足结合律，当若干个线性变换 A 重复相乘时， 其最终结果是完全确定的，与乘法的结合方法无关.因此当 n 个（ n 是正整数） 线性变换 A 相乘时，就可以用 n个 AA A 来表示，称为 A 的 n 次幂，简记为 A n .作为定义，令 A 0= E. 根据线性变换幂的定义，可以推出指数法则： A m+n =A m A n ,(A m ) n =A m n (m, n 0) 当线性变换 A 可逆时，定义 A 的负整数幂为 A −n =(A −1 ) n ( n 是正整数). 值得注意的是，线性变换乘积的指数法则不成立，即一般说来 (AB) n A n B n . 设 0 1 1 f (x) a x a x a m m m = m + + + − − 是 P[x] 中一多项式，A 是 V 的一个线性变换，定义 f (A)= m a A m + am−1 A m−1 +.+ 0 a E 显然 f (A)是一线性变换，它称为线性变换 A 的多项式. 不难验证，如果在 P[x] 中
h(x)= f(x)+g(x) ,p(x)= f(x)g(x),那么h(A)= f (A)+g (A), p (A)=f (A) g (A)特别地，f (A) g(A)=g (A) f (A).即同一个线性变换的多项式的乘法是可交换的例1在三维几何空间中，对于某一向量α的内射影Ⅱ是一个线性变换．ⅡI，可以用下面的公式来表示：(α,5)Ia(5)=(α,α)其中(α,5),(α,α)表示向量的内积.从图2不难看出，在以α为法向量的平面x上的内射影Ⅱ（）可以用公式()=5-1(5)表示.因此II, =&-I..这里是恒等变换对于平面x的反射R，也是一个线性变换，它的像由公式R (5)=5-21la(5)给出.因此R,=&-2llα:设α,β是空间的两个向量.显然，α与β互相垂直的充要条件为II=0
h(x) = f (x) + g(x) , p(x) = f (x)g(x), 那么 h (A)= f ( A)+ g ( A), p (A)= f ( A) g ( A). 特别地， f (A) g ( A)= g ( A) f ( A). 即同一个线性变换的多项式的乘法是可交换的. 例 1 在三维几何空间中，对于某一向量 的内射影 是一个线性变 换. 可以用下面的公式来表示： ( , ) ( , ) ( ) = . 其中 (, ),(,) 表示向量的内积. 从图 2 不难看出， 在以 为法向量的平面 x 上的内射影 ( ) x 可以用 公式 ( ) ( ) x = − 表示.因此 x = ℰ- . 这里 ℰ 是恒等变换. 对于平面 x 的反射 ℛ x 也是一个线性变换，它的像由公式 ℛ ( ) 2 ( ) x = − 给出.因此 ℛ x =ℰ-2 . 设 , 是空间的两个向量.显然， 与 互相垂直的充要条件为 = ℴ
例2在线性空间P[a],中，求微商是一个线性变换，用の表示.显然有D"=0.其次，变换的平移aepf(a)-→f(a+a)也是一个线性变换，用9。表示.根据泰勒展开式α?a(n-l (2);f(a+a)= f(a)+af'(a)+ f"(a)+...21(n-1)因之9，实质上是4的多项式：q9,=t+aD+%D"-ID?++2!(n- 1)!
例 2 在线性空间 P n [] 中，求微商是一个线性变换，用 D 表示.显然有 D = n ℴ. 其次，变换的平移 f () → f ( + a) a P 也是一个线性变换，用 ℐ a 表示.根据泰勒展开式 ( ) ( 1)! ( ) 2! ( ) ( ) ( ) ( 1) 2 1 − − − + = + + + + n n f n a f a f a f af , 因之 ℐ a 实质上是℄的多项式： ℐ a =ℰ+ a D+ 2! 2 a D 2 +.+ ( 1)! 1 − − n a n D n−1
83线性变换和矩阵教学目的熟练掌握线性变换和矩阵的关系，掌握相似矩阵的定义和简单性质。重点难点线性变换和矩阵的关系教学过程一、线性变换关于基的矩阵设V是数域P上n维线性空间.j,62,,8,V的一组基，现在建立线性变换与矩阵关系空间V中任意一个向量可以被基，626,线性表出，即有关系式(1)5=X6+X26+.+Xen其中系数是唯一确定的，它们就是在这组基下的坐标.由于线性变换保持线性关系不变，因而在的像A与基的像A8,A62，A8,之间也必然有相同的关系：AE=A(Xe+Xe2+...+X,on)(2) =x,A(s)+X,A(s,)++x,A(s,)上式表明，如果知道了基8,62，,6,的像，那么线性空间中任意一个向量的像也就知道了，或者说1．设8,62，,6,是线性空间V的一组基，如果线性变换A与B在这组基上的作用相同，即A6,=B6,,i=1,2,.,n那么A=B结论1的意义就是，一个线性变换完全被它在一组基上的作用所决定.下面指出，基向量的像却完全可以是任意的，也就是
§3 线性变换和矩阵 教学目的 熟练掌握线性变换和矩阵的关系，掌握相似矩阵的定义和简单 性质。 重点难点 线性变换和矩阵的关系 教学过程 一、线性变换关于基的矩阵 设 V 是数域 P 上 n 维线性空间. n , , , 1 2 V 的一组基，现在建立线性 变换与矩阵关系. 空间 V 中任意一个向量 可以被基 n , , , 1 2 线性表出，即有关系式 n n = x + x ++ x 1 1 2 2 (1) 其中系数是唯一确定的，它们就是 在这组基下的坐标.由于线性变换保持 线性关系不变，因而在 的像 A 与基的像 A 1 ,A 2 ,.，A n 之间也必然有 相同的关系： A =A（ n n x + x ++ x 1 1 2 2 ） = 1 x A( 1 )+ 2 x A( 2 )+.+ n x A ( n ) (2) 上式表明，如果知道了基 n , , , 1 2 的像，那么线性空间中任意一个向 量 的像也就知道了，或者说 1. 设 n , , , 1 2 是线性空间 V 的一组基，如果线性变换 Å 与 ℬ 在这 组基上的作用相同，即 A i =B i ， i = 1, 2 , ,n , 那么 A= B. 结论 1 的意义就是，一个线性变换完全被它在一组基上的作用所决定. 下面指出，基向量的像却完全可以是任意的，也就是
2．设61,62…5,是线性空间V的一组基，对于任意一组向量α,α2",α一定有一个线性变换A使A8,=α,i=1,2,.,n.定理1设,62是线性空间的一组基，α,α2…α,是V中任意n个向量.存在唯一的线性变换A使As,=α,i=1,2,,n.定义2设8,62，,8,是数域P上n维线性空间V的一组基，A是V中的一个线性变换.基向量的像可以被基线性表出：A8=a6+a212+..+anenA82=a26+a2282+...+an6n,As,=ainG+a2n,++amen用矩阵表示就是A (81,62,",8,) =(A(8), A(6,), ,A(8,))(5)=(81,82,..,8.)A其中aai2...ama21a22.a2nA=anam..am矩阵A称为线性变换A在基8,8,6下的矩阵例1设6j,62,,m是n(n>m)维线性空间V的子空间W的一组基，把它扩充为V的一组基6，62，,8,指定线性变换A如下A8, =8,,i=1,2,..,m[As, =0,i=m+1,,n.如此确定的线性变换A称为子空间W的一个投影不难证明
2. 设 n , , , 1 2 是线性空间 V 的一组基，对于任意一组向量 n , , , 1 2 一定有一个线性变换 Å 使 A i = i i = 1, 2 , ,n . 定理 1 设 n , , , 1 2 是线性空间 V 的一组基， n , , , 1 2 是 V 中任意 n 个向量.存在唯一的线性变换 Å 使 A i = i i = 1, 2 , ,n . 定义 2 设 n , , , 1 2 是数域 P 上 n 维线性空间 V 的一组基，A 是 V 中 的一个线性变换.基向量的像可以被基线性表出： = + + + = + + + = + + + . , , 1 1 2 2 2 12 1 22 2 2 1 11 1 21 2 1 n n n nn n n n n n A a a a A a a a A a a a 用矩阵表示就是 A（ n , , , 1 2 ）=（A( 1 )，A( 2 )，.， A( n )） = ( 1 , 2 , , n )A (5) 其中 = n n nn n n a a a a a a a a a A 1 2 21 22 2 11 12 1 矩阵 A 称为线性变换 A 在基 n , , , 1 2 下的矩阵. 例 1 设 m , , , 1 2 是 n (n m) 维线性空间 V 的子空间 W 的一组基， 把它扩充为 V 的一组基 n , , , 1 2 .指定线性变换 A 如下 = = + = = 0 , 1, , . , 1 ,2 , , , A i m n A i m i i i 如此确定的线性变换 A 称为子空间 W 的一个投影.不难证明