(X，Y)的联合密度为1(x,y)eGf(x,J)=6x106[o,(x,y)eG所求概率为(X，Y)落入如图3-4阴影处的概率图3-4 4000x+10001p(Y-X≤1000)=p(-1000≤YX≤1000)=dxdy=J30006x1062000
(X，Y) 的联合密度为 ï î ï í ì Ï Î = ´ x y G x y G f x y 0 , ( , ) , ( , ) 6 10 1 ( , ) 6 所求概率为(X，Y) 落入如图 3-4 阴影处的概率 图 3-4 p{Y - X £1000} = p{-1000 £ Y - X £1000} ò ò + = ´ = 1000 3000 6 4000 2000 3 1 6 10 x 1 dx dy
3.2边缘分布教学内容：教材51-53页，主要内容：二维随机变量的边缘分布、二维离散型随机变量的边缘分布律、二维连续型随机变量的分布律。教学目的：（1）理解二维离散型随机变量边缘分布的意义，掌握其边缘分布的计算；（2）理解二维连续型随机变量边缘分布的意义，掌握其边缘分布的计算；教学的过程和要求：一．首先说明研究边缘分布的意义，由一维随机变量的分布函数引入边缘分布的分布函数。就离散型随机变量给出其边缘分布列的表示方法和求解方法并举例3.2.1；就连续型随机变量给出边缘密度和边缘分布函数及求解方法并举例3. 2.2;1.边缘分布的意义：二维随机变量（X，Y）作为一个整体，有它的概率分布，无论是离散型还是连续型，都可以用分布函数F(x，y)来刻画而分量X和Y也都是随机变量，也有其各自的概率分布.记X和Y的分布函数为Fx(a)和F,(y)，分别称为二维随机变量（X，Y）关于X和关于Y的边缘分布函数2.边缘分布的分布函数：边缘分布函数可以由(X，Y)的联合分布函数F(x，y)来确定：Fx(x)= P(X≤x)= P(X≤x, Y<+00)= F(x,+00)同理F,()=P(Y≤y)= P(X <+00, Y≤y)= F(+00, y)3.离散型随机变量的边缘分布列的表示方法：定义：对于二维离散型随机变量（X，Y)，设其概率分布为P(X =x,Y=y,}= Py"i, j=1,2,..则X的边缘分布为：P(X =x,)= P(X=X, Y<+o0)- P(X =x, =y)-Z p,= P.i=1,2,...j=l
3.2 边缘分布 教学内容：教材 51-53 页，主要内容：二维随机变量的边缘分布、二维离散型随 机变量的边缘分布律、二维连续型随机变量的分布律。 教学目的： （1）理解二维离散型随机变量边缘分布的意义，掌握其边缘分布的计算； （2）理解二维连续型随机变量边缘分布的意义，掌握其边缘分布的计算； 教学的过程和要求： 一. 首先说明研究边缘分布的意义，由一维随机变量的分布函数引入边缘分布的 分布函数。就离散型随机变量给出其边缘分布列的表示方法和求解方法并举例 3.2.1；就连续型随机变量给出边缘密度和边缘分布函数及求解方法并举例 3.2.2； 1. 边缘分布的意义： 二维随机变量(X，Y) 作为一个整体，有它的概率分布，无论是离散型还是连 续型，都可以用分布函数 F(x，y) 来刻画. 而分量 X 和 Y 也都是随机变量，也有 其各自的概率分布. 记 X 和 Y 的分布函数为 F (x) X 和 F ( y) Y ，分别称为二维随机变 量(X，Y) 关于 X 和关于 Y 的边缘分布函数. 2. 边缘分布的分布函数： 边缘分布函数可以由(X，Y) 的联合分布函数 F(x，y) 来确定： F (x) = P{X £ x} = P{X £ x，Y < +¥}= F(x，+ ¥) X 同理 F ( y) P{Y y} P{X Y y} F( y) Y = £ = < +¥， £ = +¥， 3. 离散型随机变量的边缘分布列的表示方法： 定义：对于二维离散型随机变量(X，Y) ，设其概率分布为 P{X = x ，Y = y }= p ， i，j = 1，2，L. i j ij 则 X 的边缘分布为： { } { } { , } 1 2 . 1 1 = = = ， < +¥ = å = = = å = · = ，L ¥ = +¥ = P X x P X x Y P X x Y y p p i i j ij j i i i j
Y的边缘分布为：P(y=y,)= P(x<+, Y=y)-ZP(X =x,Y=y)-2j =1,2, ...Zp=p.ji=l4.离散型随机变量的边缘分布列的计算：例3.2.1：求例3.1.1中定义的(X,Y)的边缘分布律解：按照上面的公式知：在分布表3.2中，将X和Y的联合分布律按行、列分别相加，得所求边缘分布律为（表3.3）1111P4. =pi. =P2. =P3. =4'444725133p.4 =P-2 =p., =p=48484848表3.3Y3412Pi.X11-400011411100288411110341212121111144161616161332571p.,48484848从例中可以看到，边缘分布p.和p.,分别是联合分布列中第i行和第j列各元素之和。5.二维连续型随机变量的边缘分布定义：设(X，Y)为连续型随机变量，它的概率密度函数为f(x,y)，则X的边缘分布函数为Fr(a)= F(x, + 0)=[ f(x, )dy lax其密度函数为fr(x)= ft f(x, y)dy同理，Y的边缘分布函数为F,()=F(+o0,)=[(x,)dxy其密度函数为r()=[(x, y)dx
Y 的边缘分布为: { } { } { , } . 1 2 . 1 1 = = < +¥， = = å = = = å = = ，L ¥ = +¥ = P Y y P X Y y P X x Y y p p j j i ij i j j i j 4. 离散型随机变量的边缘分布列的计算： 例 3.2.1：求例 3.1.1 中定义的(X,Y) 的边缘分布律. 解：按照上面的公式知：在分布表 3.2 中，将 X 和Y 的联合分布律按行、列分别 相加，得所求边缘分布律为（表 3.3） 48 3 . 48 7 . 48 13 , . 48 25 . 4 1 4 1 4 1 , 4 1 1 2 3 4 1. 2. 3. 4. = = = = = = = = p p p p p p p p 表 3.3 Y X 1 2 3 4 i · p 1 4 1 0 0 0 4 1 2 8 1 8 1 0 0 4 1 3 12 1 12 1 12 1 0 4 1 4 16 1 16 1 16 1 16 1 4 1 j p· 48 25 48 13 48 7 48 3 1 从例中可以看到，边缘分布 i · p 和 j p· 分别是联合分布列中第 i 行和第 j 列 各元素之和. 5. 二维连续型随机变量的边缘分布定义： 设(X，Y) 为连续型随机变量，它的概率密度函数为 f (x, y) ，则 X 的边缘分布 函数为 ò-¥ ò +¥ ê -¥ ë é úû ù = + ¥ = x X F (x) F(x， ) f (x，y)dy dx 其密度函数为 ò +¥ -¥ f x = f x y dy X ( ) ( ， ) 同理，Y 的边缘分布函数为 ò-¥ ò +¥ ê -¥ ë é úû ù = +¥ = y Y F ( y) F( , y) f (x，y)dx dy 其密度函数为 ò +¥ -¥ f y = f x y dx Y ( ) ( ， )
通常分别称f(x)和f,()为二维随机变量(X，Y)关于X和Y的边缘密度函数6.二维连续型随机变量的边缘分布计算例3.2.2：求例3.1.2中的二维随机变量(X，Y)关于X和Y的边缘分布密度。解：在例3.1.2中将X和Y的联合分布密度分别按上面的边缘分布密度公式积分，即得二维随机变量(X，Y)关于X和Y的边缘分布密度分别为X的边缘密度函数Jx(x)= Jt f(x, y)dy[r" 2e-(2x)dy = 2e-2x, x> 0o,x≤0同理 f,(y)=Jt f(x, y)dx;[r"2e-(2+)dx=e",y>00,y≤o二，举例说明边缘分布不能决定联合分布，即不同的联合分布可具有相同的边缘分布。举例直接给出二维正态分布的密度函数，说明其中参数的意义。例3.2.3设二维随机变量(X，Y)的概率密度为(x-μ(y-2), (0-μ2)-山广X12(i-p2002TGf(x,y)=<+8+2元0,02 /1-p其中μ，μ2,,2，都是常数，且,>0,>0,1。我们称此(X,)时服从参数为μ，μ2，，2，的二维正态分布。试求此二维正态随机变量(X，Y)的边缘分布密度。解：将分布密度(x,)代入边缘分布密度计算公式并作积分变量替换y-μ2-ox-μiV1-p-09ra.则有
通常分别称 f (x) X 和 f (y) Y 为二维随机变量(X，Y) 关于 X 和 Y 的边缘密度函数. 6. 二维连续型随机变量的边缘分布计算： 例 3.2.2：求例 3.1.2 中的二维随机变量(X，Y) 关于 X 和 Y 的边缘分布密度。 解：在例 3.1.2 中将 X 和 Y 的联合分布密度分别按上面的边缘分布密度公式积分， 即得二维随机变量(X，Y) 关于 X 和 Y 的边缘分布密度分别为 X 的边缘密度函数 ò +¥ -¥ f x = f x y dy X ( ) ( ， ) ( ) ïî ï í ì £ = > = - +¥ - + ò 0 0 2 2 0 2 0 2 x e dy e x x y x ， ， 同理 ò +¥ -¥ f y = f x y dx Y ( ) ( ， ) ； ( ) ïî ï í ì £ = > = - +¥ - + ò 0 0 2 0 0 2 y e dx e y x y y ， ， 二. 举例说明边缘分布不能决定联合分布，即不同的联合分布可具有相同的边缘 分布。举例直接给出二维正态分布的密度函数，说明其中参数的意义。 例 3.2.3 设二维随机变量(X，Y) 的概率密度为 ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( < +¥ < +¥) - = ú ú û ù ê ê ë é - + - - - - - - f x y e x y x x y y , 2 1 1 , 2 2 2 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 2 2 1 1 2 1 2 s m s s m m r s m r ps s r 其中m1 , m2 , s1 , s 2 , r 都是常数，且s1 > 0 , s 2 > 0 , r < 1。我们称此(X，Y) 时 服从参数为m1 , m2 , s1 , s 2 , r 的二维正态分布。试求此二维正态随机变量(X，Y) 的边缘分布密度。 解：将分布密度 f (x, y)代入边缘分布密度计算公式并作积分变量替换 t y x =÷ ÷ ø ö ç ç è æ - - - - 1 1 2 2 2 1 s m r s m r 则有