泰勒中值定理： 若f(x)在包含xo的某开区间(a,b)内具有 直到n+1阶的导数，则当x∈(a,b)时，有 f0x)=f)+f0x-)+o）(x-x+ 2! +f0(o(x-o)P+R,( ① n! 共中R侧=0白x-)y"(传在，与x之同@ (n+1)月 公式①称为f(x)的n阶泰勒公式. 公式②称为n阶泰勒公式的拉格朗日余项. 2009年7月3日星期五 6 上页 、返回
2009年7月3日星期五 6 目录 上页 下页 返回 公式 ① 称为 的xf )( n 阶泰勒公式 . 若 )( 在包含 xxf 0的某开区间 ba ),( 内具有 直到n +1阶的导数 , bax ),( 公式 ② 称为n 阶泰勒公式的拉格朗日余项 . ∈ 时, 有 f x)( = )( 0 f x ))(( 0 0 + f ′ − xxx 2 0 0 )( !2 )( xx f x − ′′ + +" n n xx n xf )( ! )( 0 0 )( + − ( ) Rn + x ① 其中 ( 1) 1 0 ( ) () ( ) ( 1) ! n n n f Rx x x n ξ + + = − + 则当 ) 0 (ξ 与在 xx 之间 ② 泰勒中值定理 :
注意到R(x)=o(x-x)”] ③ 在不需要余项的精确表达式时，泰勒公式可写为 f)=f)+f(x-0+3(x-x)}+. 21 +m（(x-)”+ox-x)"] ④ nl 公式③称为n阶泰勒公式的佩亚诺Peano)余项. *可以证明： f(x)在，点x有直到n阶的导数 ④式成立 2009年7月3日星期五 上页 返回
2009年7月3日星期五 7 目录 上页 下页 返回 公式 ③ 称为n 阶泰勒公式的佩亚诺(Peano) 余项 . f x)( = f x0 )( + f ′ 0 − xxx 0 ))(( 0 0 )( 2+" !2 )( xx f x − ′′ + n n xx n xf )( ! )( 0 0 )( + − ])[( 0 n −+ xxo ④ 0 ( ) [( ) ] n 注意到 Rx ox x n = − ③ * 可以证明: )( 在点 0 有直到nxxf 阶的导数 ④ 式成立 在不需要余项的精确表达式时 , 泰勒公式可写为
0=f)+/X-)+3(-6}+ 21 +mx-x,”+但(x-x) (n+1)川 特例： (5在x0与x之间) (1)当n=0时，泰勒公式给出拉格朗日中值定理 f(x)=f(x)+f'(5)(x-x) (5在x0与x之间) (2)当n=1时，泰勒公式变为 f)=f()+f(Xx-x)+-s 可见f(x)≈f(x)+f'(xx-xo) 2老在x0与x之间) 误差1 国-x-户(E在x,与x之) df 2009年7月3日星期五 8 目录 上页 、返回
2009年7月3日星期五 8 目录 上页 下页 返回 f ( ) x = )( 0 f x ))(( 0 0 + f ′ − xxx +" ( 1) 1 0 ( ) ( ) ( 1) ! n n f x x n ξ + + + − + 2 0 0 )( !2 )( xx f x − ′′ + n n xx n xf )( ! )( 0 0 )( + − ) 0 (ξ 与在 xx 之间 特例: (1) 当 n = 0 时, 泰勒公式变为 f ( ) x = 0 f ( ) x 0 + f ′( )( ) ξ x x − (2) 当 n = 1 时, 泰勒公式变为 给出拉格朗日中值定理 f ( ) x = 0 f x( ) 0 0 + f ′( )( ) x xx − 2 0 ( ) ( ) 2 ! f x x ′′ ξ + − 可见 f x)( ≈ )( 0 f x ))(( 0 0 + f ′ − xxx 2 1 0 )( !2 )( )( xx f xR − ′′ = ξ 误差 d f ) 0 (ξ 与在 xx 之间 ) 0 (ξ 与在 xx 之间 ) 0 (ξ 与在 xx 之间
在泰勒公式中若取x=0,5=0x(0<0<1),则有 f)=f0+f0x+0x2+.+0x 2 n! +f》(0)xml (n+1)！ 称为麦克劳林(Maclaurin)公式. 由此得近似公式 fx)≈f0)+f'0x+0x+.+f0x 2 n! 若在公式成立的区间上fm(x)≤M,则有误差估计式 Rwmm M 2009年7月3日星期五 9 目录○ 上页
2009 年 7 月 3日星期五 9 目录 上页 下页 返回 称为麦克劳林（ Maclaurin ）公式 . 0 x x = 0 , (0 1) , ξ = << θ θ x)( = 则有 f f )0( + f ′ )0( x + " 1 )1( !)1( )( + + + + n n x n θ xf 2 !2 )0( x f ′′ + n n x n f ! )0()( + f x)( = )( 0 f x ))(( 0 0 + f ′ − xxx + " 1 0 )1( )( !)1( )( + + − + + n n xx n f ξ 2 0 0 )( !2 )( xx f x − ′′ + n n xx n xf )( ! )( 0 0 )( + − ) 0 (ξ 与在 xx 之间 f ( ) x ≈ f (0) + f ′(0) x + " ( 1) () , n f x M + ≤ 则有误差估计式 1 !)1( )( + + ≤ n n x n M xR 2 !2 )0( x f ′′ + n n x n f ! )0()( + 若在公式成立的区间上 由此得近似公式 在泰勒公式中若取