江画工太猩院 注意:(1)直线的曲率处处为零; (2)圆上各点处的曲率等于半径的倒数,且 半径越小曲率越大 2、曲率的计算公式 设y=f(x)二阶可导,:tana 有a= arctan,dx2y, 1+y 2 d=1+y“d.:k= 1+y
江西理工大学理学院 2、曲率的计算公式 注意: (1) 直线的曲率处处为零; (2) 圆上各点处的曲率等于半径的倒数,且 半径越小曲率越大. 设y = f (x)二阶可导, Qtanα = y′, , 1 2 dx y y d + ′ ′′ α = . (1 )2 3 2 y y k + ′ ′′ ∴ = 有α = arctan y′, 1 . 2 ds = + y′ dx
江画工太猩院 设/= 二阶可导, y=y(t), dy__y(t dy o(ty(t-o" (t)y'(o dr o'(t) dx k g(y"()-g"(ty()l o(0+y(o
江西理工大学理学院 , ( ), ( ), 设 二阶可导 ⎩⎨⎧ == y t x t ψϕ . [ ( ) ( )] ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 2 2 t t t t t t k ϕ ψ ϕ ψ ϕ ψ ′ + ′ ′ ′′ − ′′ ′ ∴ = , ( ) ( ) t t dx dy ϕ ψ ′ ′ Q = . ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 2 t t t t t dx d y ϕ ϕ ψ ϕ ψ ′ ′ ′′ − ′′ ′ =
江画工太猩院 例1抛物线y=ax2+bx+c上哪一点的曲率最大 解y=2ar+b,y"=2a, 2a k= 3· [1+(2ax+b) 显然,当x=-°时,k最大 b b2-4ac 又∵(- )为抛物线的顶点 2a 4a ∴抛物线在顶点处的曲率最大
江西理工大学理学院 例1 ? 抛物线 y = ax2 + bx + c 上哪一点的曲率最大 解 y′ = 2ax + b, y′′ = 2a, . [1 (2 ) ] 2 2 3 2 ax b a k + + ∴ = 显然, , 2 当 时ab x = − k最大. ) , 4 4 , 2 ( 2 又 为抛物线的顶点 a b ac ab − Q − − ∴抛物线在顶点处的曲率 最大
江画工太猩院 例2铁轨由直道转入圆弧弯道时,若接头处 的曲率突然改变,容易发生事故,为了行驶平 稳,往往在直道和 弯道之间接入一段 缓冲段(如图,使曲 率连续地由零过渡 到(R为圆弧轨道 R 点击图片任意处播放暂停 的半径
江西理工大学理学院 点击图片任意处播放\暂停 ). ( 1 ( ), , 的半径 到 为圆弧轨道 率连续地由零过渡 缓冲段 如图 使曲 弯道之间接入一段 稳，往往在直道和 的曲率突然改变 容易发生事故，为了行 驶平 铁轨由直道转入圆弧弯 道时，若接头处 R R 例2
江画工太猩院 通常用三次抛物线y=x,x∈[0,xn作为 6RI 缓冲段OA,其中l为OA的长度,验证缓冲段 OA在始端O的曲率 为零,并且当三很小 R <1)时,在终端 R R lmmmmmunmpnm A(ro, yo A的曲率近似为 0 C(ro 0)x R
江西理工大学理学院 . 1 ( 1 ) , [ 0 , ] 6 1 0 3 R A R l R l OA O OA l OA x x x Rl y 的曲率近似为 时，在终端 为零 并且当 很小 在始端 的曲率 缓冲段 ，其中 为 的长度，验证缓冲段 通常用三次抛物线 ， ．作为 << = ∈ x y o R ( , ) 0 0 A x y ( ,0 ) C x0 l