多么小,总存在一个正整数N,当n>N时,有+-1<6。这就充分体现了当n越来 越大时,”+无限接近这一事实。这个数“1”称为当n→时,{士}的极限 定义:若对VE>0(不论E多么小),总彐自然数N>0,使得当n>N时都有xn-<E成 立,这是就称常数a是数列xn的极限,或称数列xn收敛于a,记为lmxn=a,或 x.→a(n→>∞)。如果数列没有极限,就说数列是发散的。 n+1 【例4】证明数列2 收敛于1。 3 证明:对vE>0,要使得+1-1=1<6,只须n>1,所以取N=1,当n>N时 有 所以 n+1 注1:ε是衡量x与a的接近程度的,除要求为正以外,无任何限制。然而,尽管ε具有 任意性,但一经给出,就应视为不变。(另外,E具有任意性,那么5,26,E2等也 具有任意性,它们也可代替E) 2:N是随E的变小而变大的,是E的函数,即N是依赖于ε的。在解题中,N等于多 少关系不大,重要的是它的存在性,只要存在一个N,使得当n>N时,有xn-a< 就行了,而不必求最小的N 【例5】证明lm 证明:对VE>0,因为+1-1=1<6,因为m+a n(√n2 (此处不妨设a≠0,若a=0,显然有my
多么小，总存在一个正整数 N ，当 n N 时，有 − + 1 1 n n 。这就充分体现了当 n 越来 越大时， n n +1 无限接近 1 这一事实。这个数“1”称为当 n → 时， + n n 1 的极限。 定义：若对 0 （不论 多么小），总 自然数 N 0 ，使得当 n N 时都有 x − a n 成 立，这是就称常数 a 是数列 n x 的极限，或称数列 n x 收敛于 a ，记为 xn a n = → lim ，或 xn → a （ n → ）。如果数列没有极限，就说数列是发散的。 【例 4】证明数列 , 1 , , 3 4 , 2 3 2, n n + 收敛于 1。 证明：对 0 ，要使得 − = + n n n 1 1 1 ，只须 1 n ，所以取 = 1 N ，当 n N 时， 有 − = + n n n 1 1 1 ，所以 1 1 lim = + → n n n 。 注 1： 是衡量 n x 与 a 的接近程度的，除要求为正以外，无任何限制。然而，尽管 具有 任意性，但一经给出，就应视为不变。（另外， 具有任意性，那么 2 ,2 , 2 等也 具有任意性，它们也可代替 ） 2： N 是随 的变小而变大的，是 的函数，即 N 是依赖于 的。在解题中， N 等于多 少关系不大，重要的是它的存在性，只要存在一个 N ，使得当 n N 时，有 x − a n 就行了，而不必求最小的 N 。 【例 5】证明 lim 1 2 2 = + → n n a n 。 证明：对 0 ，因为 − = + n n n 1 1 1 ,因为 n a n n a n a n n a 2 2 2 2 2 2 ( ) 1 + + − = + （此处不妨设 a 0 ，若 a = 0 ，显然有 lim 1 2 2 = + → n n a n ）
所以要使得+a-1<,.只须<E就行了 即有n>2.所以取N ,当n>N时,因为有<E l<,所以mYn+a2 n→① 注3:有时找N比较困难,这时我们可把|xn-d适当地变形、放大(千万不可缩小!) 若放大后小于E,那么必有{xn-d<E 【例3】设<1,证明1q1q2…;qn1…的极限为0,即mqn=0。 证明:若q=0,结论是显然的,现设0<<1,对vE>0,(因为E越小越好,不妨设E<1), 要使得-0<E,即刚"<E,只须两边放对数后,(n-)ml<hE成立就行 了。因为0,所以h0,所以n-1>→n>+ 取N=12V所以当nN时,有-0<成立 收敛数列的有关性质 定理1:(唯一性)数列x不能收敛于两个不同的极限 证明:设a和b为xn的任意两个极限,下证a=b。 由极限的定义,对VE>0,必分别自然数N1,M2,当n>N时,有xn-d<E.(1) 当n>N2时,有xn-b<E.(2)令N=Ma{N2,N2},当n>N时,(1),(2)同时 成立。现考虑: a-b=(x-b)-(),-b+lm-a<8+8=22 由于a,b均为常数→a=b,所以xn的极限只能有一个 注:本定理的证明方法很多,书上的证明自己看
所以要使得 − + 1 2 2 n n a ，只须 n a 2 就行了。 即有 2 a n . 所以取 [ ] 2 a N = ，当 n N 时，因为有 n a 2 − + 1 2 2 n n a ，所以 lim 1 2 2 = + → n n a n 。 注 3：有时找 N 比较困难，这时我们可把 xn − a 适当地变形、放大（千万不可缩小！）， 若放大后小于 ，那么必有 x − a n 。 【例 3】 设 q 1 ，证明 1,q,q 2 , ,q n−1 , 的极限为 0，即 lim 0 1 = − → n n q 。 证明：若 q = 0 ，结论是显然的，现设 0 q 1 ，对 0 ，（因为 越小越好，不妨设 1 ）， 要使得 − − 0 n 1 q ，即 n−1 q ，只须两边放对数后， (n −1)ln q ln 成立就行 了。因为 0 q 1 ，所以 ln q 0 ，所以 q n q n ln ln 1 ln ln 1 − + 。 取 = + q N ln ln 1 ，所以当 n N 时，有 − − 0 n 1 q 成立。 收敛数列的有关性质： 定理 1：（唯一性）数列 n x 不能收敛于两个不同的极限。 证明：设 a 和 b 为 n x 的任意两个极限，下证 a = b。 由极限的定义，对 0 ，必分别 自然数 1 2 N ,N ，当 n N1 时，有 x − a n …(1) 当 n N2 时，有 x −b n …(2)令 N = MaxN1 ,N2 ，当 n N 时，（1），（2）同时 成立。现考虑： a −b = (x −b) − (x − a) x −b + x − a + = 2 n n n n 由于 a,b 均为常数 a = b ，所以 n x 的极限只能有一个。 注：本定理的证明方法很多，书上的证明自己看