较常用 4:反函数y=(x)的图形与直接函数y=f(x)的图形是对称于y=x(证明很简单, 大家自己看书) :有些书上,对反函数的定义与此不同,希加与之区别 【例13】函数y=ax+by=x2,y=x3的反函数分别为:x=3bx=y,x=y3或分 别为y=x=b y=±Vx,y=x §1、2初等函数 幂函数 形如y=x“(u为常数)的函数叫做幂函数 其定义域较为复杂,下作一些简单的讨论 (1)当为非负整数时,定义域为(-∞,+∞) (2)当μ为负整数时,定义域为(-∞,0)(0,+∞) (3)当μ为其它有理数时,要视情况而定。 【例1】y=x3的定义域为(-∞,+∞) y=x2,y=x的定义域为D+∞); y=x2的定义域为(0.+∞) (4)当μ为无理数时,规定其定义域为(O,+∞),其图形也很复杂,但不论μ取何值, 图形总过(1,1)点,当>0时,还过(0,0)点。 指数函数与对数函数 1、指数函数:形如y=a'(a>0.,a≠1)的函数称为指数函数,其定义域为(-∞+∞),其 图形总在x轴上方,且过(0,1)点, (1)当a>1时,y=a是单调增加的 (2)当0<a<1时,y=a2是单调减少的 以后我们经常遇到这样一个指数函数y=ex,e的意义以后讲,其图形大致如下图所示,特
较常用； 4：反函数 y = (x) 的图形与直接函数 y = f (x) 的图形是对称于 y = x （证明很简单， 大家自己看书）； 5：有些书上，对反函数的定义与此不同，希加与之区别。 【例 13】 函数 2 3 y = ax + b, y = x , y = x 的反函数分别为： 3 1 , x y, x y a y b x = = − = 或分 别为 3 1 , y x, y x a x b y = = − = 。 §1、2 初等函数 一、幂函数 形如 y = x （ 为常数）的函数叫做幂函数。 其定义域较为复杂，下作一些简单的讨论： （1） 当 为非负整数时，定义域为 (−,+) ； （2） 当 为负整数时，定义域为 (−,0) (0,+) ； （3） 当 为其它有理数时，要视情况而定。 【例 1】 3 1 y = x 的定义域为 (−,+) ； 4 3 2 1 y = x , y = x 的定义域为 0,+) ； 2 1 − y = x 的定义域为 (0,+)。 （4） 当 为无理数时，规定其定义域为 (0,+) ，其图形也很复杂，但不论 取何值， 图形总过（1，1）点，当 >0 时，还过（0，0）点。 二、 指数函数与对数函数 1、 指数函数：形如 y = a (a 0,a 1) x 的函数称为指数函数，其定义域为 (−,+) ，其 图形总在 x 轴上方，且过（0，1）点， （1） 当 a 1 时， x y = a 是单调增加的； （2） 当 0 a 1 时， x y = a 是单调减少的； 以后我们经常遇到这样一个指数函数 y e e x = , 的意义以后讲，其图形大致如下图所示，特
别地,y=a2与y=a-关于y轴对称。 2、对数函数:指数函数y=a2的反函数,记为y=bogx(a为常数,a>0,a≠1),称为对数 函数,其定义域为(O,+∞),由前面反函数的概念知:y=a的图形和y= log x的图形是 关于y=x对称的,从此,不难得y=log。x的图形, y= log x的图形总在y轴右方,且过(1,0)点 (1)当a>1时,y=kog。x单调递增,且在(O,1)为负,(+∞)上为正 (2)当0<a<1时,y=bog。x单调递减,且在(0,1)为正,(1,+∞)上为负 特别当a取e时,函数记为y=hx,称为自然对数函数 三、三角函数与反三角函数 1、三角函数 三角函数主要是: 正弦函数:y=snx x∈(-∞,+∞) 余弦函数:y=cosx x∈(-0,+o 正切函数:y=tanx X≠n丌+ n=0,±1,±2 余切函数:y=cotx X≠n n=0,±1,+2,…… 正弦函数和余弦函数均为周期为2的周期函数,正切函数和余切函数均为周期为丌 的周期函数。正弦函数、正切函数、余切函数都是奇函数,余弦函数为偶函数;另外还 有两个:正割y=secx N知余割y=3、,其图形在此不做讨论了 sin x 2、反三角函数: 反三角函数是三角函数的反函数,它们分别为: 反正弦函数:y= Arcsim x x∈[-1l 反余弦函数:y= Arccosx x∈[-1 反正切函数:y= Arc x x∈(-∞,+∞)
别地， x y = a 与 x y a − = 关于 y 轴对称。 2、对数函数：指数函数 x y = a 的反函数，记为 y = log a x(a 为常数， a 0,a 1) ,称为对数 函数，其定义域为 (0,+) ，由前面反函数的概念知： x y = a 的图形和 y x a = log 的图形是 关于 y = x 对称的，从此，不难得 y x a = log 的图形， y x a = log 的图形总在 y 轴右方，且过（1，0）点 （1） 当 a 1 时， y x a = log 单调递增，且在（0，1）为负， (1,+) 上为正； （2） 当 0 a 1 时， y x a = log 单调递减，且在（0，1）为正， (1,+) 上为负； 特别当 a 取 e 时，函数记为 y = ln x ，称为自然对数函数。 三、 三角函数与反三角函数 1、 三角函数 三角函数主要是： 正弦函数： y = sin x x(−,+) 余弦函数： y = cos x x(−,+) 正切函数： 0, 1, 2, 2 y = tan x x n + n = 余切函数： y = cot x x n n = 0,1,2, 正弦函数和余弦函数均为周期为 2 的周期函数，正切函数和余切函数均为周期为 的周期函数。正弦函数、正切函数、余切函数都是奇函数，余弦函数为偶函数；另外还 有两个：正割 x y x cos 1 = sec = 和余割 x y x sin 1 = csc = ，其图形在此不做讨论了。 2、 反三角函数： 反三角函数是三角函数的反函数，它们分别为： 反正弦函数： y = Arcsin x x[−1,1] 反余弦函数： y = Arccos x x[−1,1] 反正切函数： y = Arc tan x x(−,+)
反余切函数:y= Arc cot x x∈(-∞,+o 显然反三角函数都是多值函数,单我们可选取其一个单值分支,叫做主值,选法如下: 将y= Arcsin x限制在[-,]上,得一单值函数,记为y= arcsin x,它就是所取主值函 数,[,叫做主值区间,显然-≤ arcsin x≤z, 同理:将y= Arc cos x限制在[0,a]上,得y= arccos x 将y= Arc tan x限制在[-z,z]上,得y= arctan x 将y= Arc cot x限制在[0,z上,得y= arc cot x 从图中不难看出 arcsin x和 arctan x是单调递增的, arccos和 arc cot x是单调递减的。 四、复合函数和初等函数 设y=f(),定义域为D,u=(x),定义域为D2,值域为2,且W2cD,这样对于 Wx∈D2,由u=o(x)可算出函数值u∈2CD,所以u∈D,由y=f()又可算出其函 数值y,因此对于wx∈D2,有确定的值y与之对应,从而得一个以x为自变量,y为因 变量的函数,我们称之为以y=f()为外函数,u=q(x)为内函数复合成的复合函数,记 为y=f((x),其中u为中间变量。 【例1】y=sn2x就是y=u2和u=snx复合而成 y=cosx2就是y=cosa和u=x2复合而成。 注1:并非任何两函数都可以复合的, 例如:y= arcsin u和u=2+x2不能复合 y=√a和n=-1-x2也不能复合。 2:复合可推广到三个或更多的函数上去,如 y=tan(hx)2就是y=tanu,u=v2,v=hx复合成的 3:在函数复合中,未必都有y=f()、u=9(x)的形式,一般为y=f(x)和y=g(x) 这时候就要注意哪个为外函数,哪个为内函数,从而复合后有y=f(x)和y=g(x)之
反余切函数： y = Arccot x x(−,+) 显然反三角函数都是多值函数，单我们可选取其一个单值分支，叫做主值，选法如下： 将 y = Arc sin x 限制在 ] 2 , 2 [ − 上，得一单值函数，记为 y = arcsin x ，它就是所取主值函 数， ] 2 , 2 [ − 叫做主值区间，显然 2 arcsin 2 − x ， 同理：将 y = Arc cos x 限制在 [0, ] 上，得 y = arccos x 将 y = Arc tan x 限制在 ] 2 , 2 [ − 上，得 y = arctan x 将 y = Arc cot x 限制在 [0, ] 上，得 y = arc cot x 从图中不难看出 arcsin x 和 arctan x 是单调递增的， arccos x 和 arc cot x 是单调递减的。 四、 复合函数和初等函数 设 y = f (u) ，定义域为 D1，u = (x) ，定义域为 D2 ，值域为 W2 ，且 W2 D1 ，这样对于 D2 x ，由 u = (x) 可算出函数值 u W2 D1 ，所以 u D1 ，由 y = f (u) 又可算出其函 数值 y ，因此对于 D2 x ，有确定的值 y 与之对应，从而得一个以 x 为自变量， y 为因 变量的函数，我们称之为以 y = f (u) 为外函数， u = (x) 为内函数复合成的复合函数，记 为 y = f ((x)) ，其中 u 为中间变量。 【例 1】 y x 2 = sin 就是 2 y = u 和 u = sin x 复合而成； 2 y = cos x 就是 y = cosu 和 2 u = x 复合而成。 注 1：并非任何两函数都可以复合的， 例如： y = arcsin u 和 2 u = 2 + x 不能复合； y = u 和 2 u = −1− x 也不能复合。 2：复合可推广到三个或更多的函数上去，如： 2 y = tan(ln x) 就是 y tan u,u v ,v ln x 2 = = = 复合成的。 3：在函数复合中，未必都有 y = f (u)、u = (x) 的形式，一般为 y = f (x) 和 y = g(x) ， 这时候就要注意哪个为外函数，哪个为内函数，从而复合后有 y = f (x) 和 y = g(x) 之 分
2、初等函数 我们把幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数统称为基本初等函数。 由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次复合后所得到的能用一个解析式子 表示的函数,称为初等函数。 【例2】y=V1+x,y= 1+sin x =sin x, y=tan(In x),y=arctan 等都是初等函 sIn x 本教材讨论的主要都是初等函数。 五、 双曲函数和反双曲函数 双曲正弦:y=shx x∈(-∞,+∞) 双曲余弦:y=chx=ctex∈(-∞,+∞) shx e-e 双曲正切:y=hx=cmx=e2+e x∈(-∞,+∞ 反双曲正弦 arshx=In(x+Vx+1) x∈(-∞,+ 反双曲余弦:y= arche=h(x+√x2-1) ∈[l+∞) (多值函数y=±h(x+x2-1)取“+”号为主值 反双曲正切:y=arh x∈(-1,1) 21-x 由于这类以后用得较少,只要掌握上面的内容就行了,其它的此外不细讲了。 §1、3数列的极限 所谓的数列,通俗地讲,就是将一系列的数排成一列(排)。在数学中,我们可用这 样的话来定义: 定义:数列是定义在自然数集上的函数,记为xn=f(n),n=1,2,3…,由于全体自然 数可以从小到大排成一列,因此数列的对应值也可以排成一列:x1,x2 这就是最常见的数列表现形式了,有时也简记为{xn}或数列xn。数列中的每一数 称为数列的项,第n项xn称为一般项或通项。 【例1】书上用圆内接正6×2边形的面积来近似代替该圆的面积时,得到数列
2、初等函数 我们把幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数统称为基本初等函数。 由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次复合后所得到的能用一个解析式子 表示的函数，称为初等函数。 【例 2】 x x y x y y x y x y x 1 sin 1 sin 1 , 1 2 , sin , tan(ln ) , arctan 2 2 − + = + = − = = = 等都是初等函 数。 本教材讨论的主要都是初等函数。 五、 双曲函数和反双曲函数 双曲正弦： ( , ) 2 − + − = = − x e e y shx x x 双曲余弦： ( , ) 2 − + + = = − x e e y chx x x 双曲正切： (−,+) + − = = = − − x e e e e chx shx y thx x x x x 反双曲正弦： ln( 1) ( , ) 2 y = arshx = x + x + x − + 反双曲余弦： ln( 1) [1, ) 2 y = archx = x + x − x + （多值函数 ln( 1) 2 y = x + x − 取“+”号为主值） 反双曲正切： ( 1,1) 1 1 ln 2 1 − − + = = x x x y arthx 由于这类以后用得较少，只要掌握上面的内容就行了，其它的此外不细讲了。 §1、3 数列的极限 所谓的数列，通俗地讲，就是将一系列的数排成一列（排）。在数学中，我们可用这 样的话来定义： 定义：数列是定义在自然数集上的函数，记为 xn = f (n), n =1,2,3 ，由于全体自然 数可以从小到大排成一列，因此数列的对应值也可以排成一列： x1 , x2 , xn ， 这就是最常见的数列表现形式了，有时也简记为 xn 或数列 n x 。数列中的每一数 称为数列的项，第 n 项 n x 称为一般项或通项。 【例 1】 书上用圆内接正 1 6 2 − n 边形的面积来近似代替该圆的面积时，得到数列
A1,A2,……A (多边形的面积数列) 【例2】长一尺的棒子,每天截去一半,无限制地进行下去,那么剩下部分的长构成一数 111 2n,通项为 【例3】1 1,-1,……(-1) n 2,4,6 1 都是数列,其通项分别为1(-),2n+1。 注:在数轴上,数列的每项都相应有点对应它。如果将xn依次在数轴上描出点的位置, 我们能否发现点的位置的变化趋势呢?显然,111是无限接近于0的:2n 是无限增大的:{-)的项是在1与-两点跳动的,不接近于某一常数 无限接近常数1。 对于数列来说,最重要的是研究其在变化过程中无限接近某一常数的那种渐趋稳定 的状态,这就是常说的数列的极限问题。 我们来观察{+}的情况。从图中不难发现+随着n的增大,无限制地接近1, 亦即n充分大时 与1可以任意地接近,即 n+1 l可以任意地小,换言之,当n充 分大时P+1-1可以小于预先给定的无论多么小的正数6。例如,取=1,由 100 →n>100 即 从第101项开始,以后的项 n100 n1=102103…都满足不等式NNm者说,当n>100时,有 102 n+A12100°同理,若取=1 10000 n10007>1000,即n+1 从第10001项开始,以后的项xmN10000000 10003 10001 都满足不等式 10000 或说,当n>10000时,有 般地,不论给定的正数 10000
A1 , A2 , An , （多边形的面积数列） 【例 2】长一尺的棒子，每天截去一半，无限制地进行下去，那么剩下部分的长构成一数 列： , 2 1 , 2 1 , 2 1 , 2 1 2 3 n ，通项为 n 2 1 。 【例 3】 ; 1, 1, ,( 1) , ; 1 , 3 1 , 2 1 1, − − n−1 n , ; 1 , , 3 4 , 2 3 2,4,6,,2 ,; 2, n n n + 都是数列，其通项分别为 n n n n n 1 ,( 1) ,2 , 1 1 + − − 。 注：在数轴上，数列的每项都相应有点对应它。如果将 n x 依次在数轴上描出点的位置， 我们能否发现点的位置的变化趋势呢？显然， n n 1 , 2 1 是无限接近于 0 的； 2n 是无限增大的； 1 ( 1) − − n 的项是在 1 与−1 两点跳动的，不接近于某一常数； + n n 1 无限接近常数 1。 对于数列来说，最重要的是研究其在变化过程中无限接近某一常数的那种渐趋稳定 的状态，这就是常说的数列的极限问题。 我们来观察 + n n 1 的情况。从图中不难发现 n n +1 随着 n 的增大，无限制地接近 1， 亦即 n 充分大时， n n +1 与 1 可以任意地接近，即 1 1 − + n n 可以任意地小，换言之，当 n 充 分大时 1 1 − + n n 可以小于预先给定的无论多么小的正数 。例如，取 100 1 = ，由 100 100 1 1 1 1 − = + n n n n ， 即 + n n 1 从 第 101 项 开 始 ， 以 后 的 项 , 102 103 , 101 102 x101 = x102 = 都满足不等式 100 1 xn −1 ， 或 者 说 ， 当 n 100 时，有 100 1 1 1 − + n n 。同理，若取 10000 1 = ，由 10000 10000 1 1 1 1 − = + n n n n ，即 + n n 1 从 第 10001 项 开 始 ， 以 后 的 项 , 10002 10003 , 10001 10002 x10001 = x10002 = 都满足不等式 10000 1 xn −1 ，或说，当 n 10000 时，有 10000 1 1 1 − + n n 。一般地，不论给定的正数