二、对面积的曲面积分的计算法 定理:设有光滑曲面 Σ:z=z(x,y),(x,y)∈Dxy f(化,y)在∑上连续,则曲面积分 八x,x)ds存在,且有 J八fx,y,2)ds +)+,(.ydrdy HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
o x y z 定理: 设有光滑曲面 f (x, y, z) 在 上连续, 存在, 且有 f (x, y,z)dS = Dx y f (x, y, ) 二、对面积的曲面积分的计算法 则曲面积分 Dxy 机动 目录 上页 下页 返回 结束
1. 若曲面∑: =(x,y) ∬fx,2s f[x,y,(x,)1+(x,y)+(x,y)dxdy D (1)确定Σ的方程:z=(x,y) (2)确定在xoy面上的投影区域Dy (3)将曲面方程z=(x,y)及 dS=+(x,y)+(x,y)dxdy 代入∬fx,ys中即可。 投、二代、三换 HIGH EDUCATION PRESS
(2)确定在xoy 面上的投影区域 D x y (3)将曲面方程 z z x y = ( , ) 及 2 2 1 ( , ) ( , ) x y d S z x y z x y d xd y = + + 代入 f x y z dS ( , , ) 中即可。 (1)确定 的方程: z z x y = ( , ); 一投、二代、三换 = + + Dx y x y f[x, y,z(x, y)] 1 z (x, y) z (x, y) d xd y 2 2 1. 若曲面 : z = z(x, y) f (x, y,z)dS
说明:如果曲面方程为 x=x(y,2),(y,2)∈DΞ ∬x,y)s=∬Ix0V+xy2+x 或y=(x,2),(x,2)∈Dx f,yaas=儿xca+y+yd HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
说明: Dyz x = x( y,z), ( y,z) Dxz 或 y = y(x,z), (x,z) 如果曲面方程为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2 2 [ , ( , ), ] 1 xz x z D = + + f x y x z z y y dxdz f x y z dS ( , , ) 2 2 [ ( , ), , ] 1 yz y z D = + + f x y z y z x x dydz f x y z dS ( , , )
例1.计算曲画分了s 其中Σ是球面x2 +z =a被平面z=h(0<h<a)截出的顶部 解:z=a2-x2-y2,(x,)eDy Dsy:x2+y2sa2-h2 1+2+号=a- -a-o a-h 0 a2-r -2c-hnc2-]。=2sog HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
Dxy 例1. 计算曲面积分 其中是球面 被平面 截出的顶部. 解: 2 2 2 2 Dxy : x + y a − h 2 2 1 x y + z + z z d S = 2 0 a d 0 ln( ) 2 1 2 2 2 2 2 a h a a r + − − = − − = Dx y a x y a x y 2 2 2 d d − − 2 2 0 2 2 a h d a r r r o x z y h a 机动 目录 上页 下页 返回 结束
思考: 若∑是球面x2+y2+z2=a被平行平面:=±h截 出的上下两部分,则 isel) HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
思考: 若 是球面 被平行平面 z =±h 截 出的上下两部分, ( ) d = z S ( ) d = z S 0 h 4 ln a a 则 h − h o x z y 机动 目录 上页 下页 返回 结束