深圳大学：《概率论与数理统计》课程教学资源（PPT课件讲稿）第二章 随机变量及其分布 §4 连续型随机变量及其概率密度 §5 随机变量的函数的分布

(3)P{1<X≤n}=F 2FV41 7 48 对于连续型随机变量X来说,它取任一指定实 数值a的概率均为0,即P{X=a}=0.事实上,设X 的分布函数为F(x),△x>0,则由 {X-a}c{a△x<Ka}得 0<P{X=a}sP{-△xka}=F()-F(a-△x) 在上述不等式中令Ax>0,并注意到X为连续 型随机变量,其分布函数F(x)是连续的,即得 P{X=a}=0 (4.4)

17 对于连续型随机变量X来说, 它取任一指定实 数值a的概率均为0, 即P{X=a}=0. 事实上, 设X 的分布函数为F(x), Dx>0, 则由 {X=a}{a−Dx<Xa}得 0P{X=a}P{a−Dx<Xa}=F(a)−F(a−Dx). 在上述不等式中令Dx→0, 并注意到X为连续 型随机变量, 其分布函数F(x)是连续的, 即得 P{X=a}=0. (4.4) 48 41 (1) 2 7 } 2 7 (3) {1  − =      P  X  = F F

因此,在计算连续型随机变量落在某一区间的 概率时,可以不必区分该区间是开区间或闭区 间或半闭区间.例如有 Pa<X<=<X<b) 在这里,事件{X=a}并非不可能事件,但有 P{X=a}=0.这就是说,若A是不可能事件,则有 P(A)=0;反之,若P(A)=0,并不一定意味着A是 不可能事件. 以后当提到一个随机变量Ⅺ的"概率分布"时 指的是它的分布函数;或者,当X是连续型时 指的是它的概率密度,当X是离散型是指的是 它的分布律

18 因此, 在计算连续型随机变量落在某一区间的 概率时, 可以不必区分该区间是开区间或闭区 间或半闭区间. 例如有 P{a<Xb}=P{aXb}=P{a<X<b}. 在这里, 事件{X=a}并非不可能事件, 但有 P{X=a}=0. 这就是说, 若A是不可能事件, 则有 P(A)=0; 反之, 若P(A)=0, 并不一定意味着A是 不可能事件. 以后当提到一个随机变量X的"概率分布"时, 指的是它的分布函数; 或者, 当X是连续型时 指的是它的概率密度, 当X是离散型是指的是 它的分布律

介绍三种重要的连续型随机变量

19 介绍三种重要的连续型随机变量

)均匀分布设连续型随机变量X具有概率 密度 a<x<b f(x)=b-a (4.5) 0,其它, 则称X在区间(a,b)上服从均匀分布,记为 X-U(a, b) f() b-a b

20 (一)均匀分布 设连续型随机变量X具有概率 密度 (4.5) 0, , , , 1 ( )        = − 其它 a x b f x b a b − a 1 则称X在区间(a,b)上服从均匀分布, 记为 X~U(a,b). O a b x f(x)

如XU(a,b),则它落在(a,b)中任意子区间内的 概率只依赖于子区间的长度而与子区间的位 置无关.任给长度为的子区间(Cc+D), a≤c<c+k<b,有 c+l P{c<X≤c+l}=f(x)dx= C+ d b-a b-a

21 如X~U(a,b), 则它落在(a,b)中任意子区间内的 概率只依赖于子区间的长度而与子区间的位 置无关. 任给长度为l的子区间(c,c+l), ac<c+lb, 有 d . 1 { } ( )d b a l x b a P c X c l f x x c l c c l c − = − =   + = =   + +