§4连续型随机变量及其概率密度
7 §4 连续型随机变量及其概率密度
如果对于随机变量X的分布函数F(x),存在非 负函数f(x),使对于任意实数x有 F(x)= f(t)dt (4.1) 则称X为连续型随机变量,其中函数x)称为X 的概率密度函数,简称概率密度 连续型随机变量的分布函数是连续函数 在实际应用中遇到的基本上是离散型或连续 型随机变量.本课程只讨论这两种随机变量
8 如果对于随机变量X的分布函数F(x), 存在非 负函数f(x), 使对于任意实数x有 ( ) ( )d (4.1) − = x F x f t t 则称X为连续型随机变量, 其中函数f(x)称为X 的概率密度函数, 简称概率密度. 连续型随机变量的分布函数是连续函数. 在实际应用中遇到的基本上是离散型或连续 型随机变量. 本课程只讨论这两种随机变量
由定义知道,概率密度fx)具有以下性质: 1,f(x)≥0 ,f(x)dx=1. 3,对于任意实数x1,x2(x1≤x2) P(<X<x2)=F(x2)-F(x)=f()dx 4,若f(x)在点x连续,则有F(x)=f(x)
9 由定义知道, 概率密度f(x)具有以下性质: 4, ( ) , ( ) ( ). ( ) ( ) ( ) ( )d . 3, , ,( ), 2, ( )d 1. 1, ( ) 0. 2 1 1 2 2 1 1 2 1 2 f x x F x f x P x X x F x F x f x x x x x x f x x f x x x = = − = = − 若 在点 连续 则有 对于任意实数
由性质2知道介于曲线=f(x)与O轴之间的面 积等于1.由性质3知道X落在区间(x1x2的概率 P{x1<x2}等于区间(x1x2]上的曲线=fx)之 下的曲边梯形面积 f(r) f(x) O x1 x2 x
10 由性质2知道介于曲线y=f(x)与Ox轴之间的面 积等于1. 由性质3知道X落在区间(x1 ,x2 ]的概率 P{x1<Xx2}等于区间(x1 ,x2 ]上的曲线y=f(x)之 下的曲边梯形面积. O x f(x) 1 O x f(x) x1 x2 1
由性质4在(x)的连续点x处有 f(x)=nF(x+△x)-F(x) △x→>0+ △x =hP(x<X≤x+△x) △ (4.2 △x→>0 看出概率密度的定义与物理学中的线密度的 定义相类似,这就是为什么称(x)为概率密度 的原因.由(42)式知道,若不计高阶无穷小,有 P(x<X≤x+△x)≈/f(x)△x (4.3)
11 由性质4在f(x)的连续点x处有 . (4.2) Δ ( Δ ) lim Δ ( Δ ) ( ) ( ) lim Δ 0 Δ 0 x P x X x x x F x x F x f x x x + = + − = + + → → 看出概率密度的定义与物理学中的线密度的 定义相类似, 这就是为什么称f(x)为概率密度 的原因. 由(4.2)式知道, 若不计高阶无穷小, 有 P(x < X x+Dx)f(x)Dx. (4.3)